L'équation de la courbe étant

/' = a^ ces 2 6,

et aussi

(j:^-hj2)»— a'(:r' — j»).

on trouve

d'abord

3(j:»-h7^)' 3(cos2e)^

puis

^ y {a? — x^ — j') 2asin'9

^(a'-4- x' -h j') 2acos*ô

d'où

Si l'on passe aux coordonnées polaires, en posant

a = rcos9, 6 = rsin0,

l86 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

l'équation (i) devient

4fl» I -f- tang'9 ___ 4 «' ' — tang^Ô -h tang'

^^ ( I -+- tang^ ® / 1 ' — taiig^ ^ / *^ * ~ tang^O

On voit que cette courbe est unicursale (â^-S) en posant

276. L'épîcycloïde étant représentée (n** 234) par les deux équations

JC := (a -^ b) COSt — 6 CCS — 7 — r ,

^=r (â5 -f- 6) sinf — b sin — - — r,

on en tire

fl?lr ,2 -+- 3 ^ . ^ ^

— - = 2 ( û -h 6 ) ces ; — t sm — - f

dt ^ ' 7.b ib

dX , a-A-lb at

— - =L i[a -f- b) sm — f sin— 75

rf/ ^ ' o.b ib

dy a-^ lb d}y a -f- 2 6 i

^~ ^ 26 ' </a;2 ~ 4^(rt 4- 6) a-f- a^ r~«î

ces* ;^ — ^ sin —7

Par suite

— 77— = -^— ^ T^ ces -— / sin — r z= 6 — r,

y a -h ib nb 2b ^ '^

^; — r — 7— sin ; — t sm — - z=U — X.

De là et des équations (i) résultent les relations

... ^b[a-^b) . at

^^' ' a -\- nb 26

ab [ a -^ b a -^ b

ces t -t- ces — t ,

a -\- ib \ b b

P = r — ; — sm / -f- sin — - — c .

^ a -{- ib \ b ^ J

SOLUTIOIVS. 187

Il suffirait de remplacer h par — h pour avoir les formules qui conviennent à l'hypocycloïde.

Les équations ( 5 ) représentent la développée demandée \ on voit qu'elle est aussi une courbe du genre épicycloïde. En changeant d'axes rectangulaires sans déplacer Forigine, on peut mettre les équations (5) sous la forme des équations (i).

L'équation (4), qui donne la valeur de p, peut s'obtenir presque sans calcul en employant la formule (p. 1 j8)

Pour cela, il est nécessaire d'avoir une relation entre retp. Or on tire d'abord des équations (i) et (2)

,T^ -\- y- =2 r^ =z a^ -\- ^b{a -h ^)sin*— ,

— ^^—r-' — =2 « + ô)(a-f- 2^»)sm'— 7.

dt ' '26

puii

et enfin

ds . ,v * «^

—- =2.[a -h 0) sm — r:

de ^ '26

xdr — rdx , . . , at

vz= — - — ; =i[a-\- 26)sm— 7î

' ds ' ib

(^) P- — 46[^TTj — '

relation qui, diflérentîée, conduit immédiatement à l'équation {4). Cette relation (6), qu'on peut regarder comme l'équation de l'épicycloïde, est d'un emploi commode dans plusieurs cas (n°» iSl et 489).