L'équation proposée peut s'écrire

en supposant les courbes rapportées à des coordonnées polaires dont O est le pôle, et désignant par c^i, Jj, . . . , J„, A les rayons vecteurs des points A,, Aj, . . . , A„, M.

Les quantités d ainsi que A sont des fonctions de l'angle que fait la transversale avec Taxe polaire 5 en diflerentiant deux fois l'équation (i) par rapport à cet angle, il vient

/w(AA"— 2A'»)

D'un autre côté

osa

^ (^2 | ^fiy

d'où

p ces* or

de même

I A^ -h 2 A'^ — AA"

Rocs Y A^

Donc, en tenant compte des équations (i) et (2),

SOLUTIO»S. 191

§ XIV. — Géométtie à trois dimensions.

Formules relatives aux courbes gauches. — Eh un point m[x^y^ z) d'une courbe on peut concevoir trois lignes droites rectangulaires entre elles, savoir : la tangente, la normale principale et la perpendiculaire au plan osculateur. Sur chacune de ces droites il existe deux directions différentes : Tune est définie par les cosinus des angles que fait cette direction avec les directions positives des axes coordonnés, et l'autre, qui lui est opposée, par ces mêmes cosinus changés de signe. Pour abréger, nous appellerons cosinus directeurs d*une droite ou d'une direction quelconque ceux qui définissent ainsi une direction convenue^ et ces mots : la direction (a, i, c), désigneront celle que déterminent les cosinus ^, fc, c. On pourra même souvent substituer à ces cosinus des quantités qui leur seront proportionnelles.

Quelques-uns des résultats exprimés par les formules qui suivent seront démontrés dans ce paragraphe.

rt, bj Cy cosinus directeurs de la tangente;

>, p, V, cosinus directeurs de la normale principale;

«t 6, 7, cosinus directeurs de Vaxe du plan osculateur

ou simplement de Vaxe; w, angle de contingence ou première flexion; 1/, angle de torsion ou seconde flexion; p, rayon de courbure; r, rayon de la seconde courbure.

( rt» -f- ^' H- c* = f, >2 ^ p' -f- V* 1= I, a} -h t' -\-y^=: i; [aa.-\-bQ-\-cy=iOj «). -h ^pi -h cv = o, aX H- 6|x H- «yv = O.

fï^ + aS-+-).u = o, 604-67 -h fxv=;o, r^-f-7a-fv).=:o.

igSk CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Ia,:=:by — cpi, S = cX — av, y = a^i — ft>; À = 6c — 7^, y.z=ya — aCy v z= ab — 6fl; az= ^y — vS, b = va — X7, c = X€ — pa.

dr djr dz

ds ds ds '

11= , vrrr ',

djrd^z — dxd^r ^ dz d}.r. — dx €Pz dz r/'r — drd^i

CL =1 ) 5= 9 7 = r~ '

f^'^ds (fi^ds tà'ds

^* f I rj ds ds

[{d.vd^y — dyd^xy - ^[dyd^z — dzd}y)^ -f- [dzd}x — dxd'zX^

ds"

r ds

dx [d'y €pz — d^z d^y) -+- dy (d^z dKr — d^x d^z) -h dz {d}xd^y — d*fdx

[dyd'z—dzd^yY -4- [dzd'x — dxdz^Y -h [dxd^y — dyd*xf

W u ta u Ui U

(g) d\z=:oLU — «w, d^^=^U — Ôw, dttzrzyu — c« (n° 284)-

Les formules [f) jouent un rôle assez important dans Tétude des courbes à double courbure. On peut remarquer que Tune quelconque des égalités

. da doi db d^ de dy

G>> u ta u oi u

n*est que l'expression analytique de ce théorème :

SOLUTIONS. igS

« Le rapport des flexions d'une courbe en un point esr égal au rapport des accroissements que subissent, en passant de ce point à un point infiniment voisin, les cosinus des angles d'une droite quelconque avec la tangente et l'axe du plan osculateur (*). »

Plusieurs des formules précédentes se simplifient quand on prend Tune des coordonnées pour variable indépendante. Si, par exemple, cette variable est .r, en posant pour abréger

on trouve

(• ) Dans le Traité de Calcul différentiel de M. Bertrand, les formules {h) sont désignées sous le nom de formules de M. Serret. C'est là une dénomination erronée, comme l'a reconnu M. Bertrand lui-même {Rapport sur les progrès les plus récents de VAnaljrse mathématique, 18G7, p. 27). Le théorème cité dans le texte, et qui, sauf la notation algébrique, est identique aux formules (A), a été donné par l'auteur du présent Recueil dans une Thèse imprimée à Toulouse en 1847; '^ travail de M. Serret sur ce point n'a paru que trois ans plus tard. De plus, un développement de la Thèse renfermant ces formules et plusieurs de leurs conséquences avait été mis, dès la fin de 1847, entre les mains de l'illustre rédacteur du Journal de Mathématiques {voir les Nouvelles Annales de Mathématiques, 1864. p. 284).

Fresiet. — Recueil. 1 1^

Il est quelquefois commode de calculer /' par la formule

281. i** Soient x^ j^ z les coordonnées d'un point M de la droite D^ Xj, j^,, -Zi celles d'un point Mi de la droite Di, et posons

La condition du minimum donne la relation

{x'—x,)dx -h \y — rx)dy -h (z — Zi)flz = (x — x,)dx,-+' ( j — j, ) ûfj, -f. (z-—Zx)dz,.

D'ailleurs,

dx =za,d/i^ djr ■=^dhy dz z=ydh^

dxt z=: a, dhi , df/, =. 6, dki , dzi = yi <£A, ;

d'où, à cause de l'indépendance de A et Ai ,

(4) (j? — .^i)ai-4-(r — ri)^i-«-(2~«i)7i=o,

Ces équations expriment que la ligne MM^ est perpendiculaire à chacune des droites données. On en tire

^5) ^— Jr-r

671 — 76, 7a, — ayi aS, — - êaj

La valeur commune de ces rapports est

Zh V(.r — j:,)^ -4- ( r — .r> )' — (2 — g.T' ±S v/67, — 76,)* H- (yx, — a7,)^ -t- (aÇ. — Sa,)' ^^^ ^

SOLUTIONS. igo

en désignant par d la plus cour^ distance, et par Y l'angle des deux droites.

Il résulte de là que les valeurs p^ q^ /• des cosinus directeurs de Tune des directions de la plus courte distance sont données par les formules

/^\ 67» — 7^1 7«« — «71 aê, — 6a,

smV sinV sinV

2° On déduit des équations (5) et (6)

D'un autre côté,

i.r — j*, =: <3t — rt, -f- a^ — 5ti^i j z — z, = c — c, -*- 7^ — 7i^i > d'où

en tenant compte des relations évidentes

Les relations (7) et (9) donnent enfin

8=:±i [p{a — a,) 4- ^(i, — 6, ) 4- r(c — c, )], c'e;3t-à-dire

(û— fl,) (<>7i — 76,) 4- (6—^,) (7a,— a7,) 4- (c— Ci) (aê,— Sa,)

sinV

où Ton peut concevoir sînV remplacé par sa valeur

3° Pour le calcul des coordonnées des points M et M„ il suffit de déterminer A et /i|. Or, si l'on multiplie respectivement par a^ S^ y les équations (8) et qu'on ajoute le résultats, il vient

0=:a(a — a,) -4-6(^ — 6,) -hf{c — c,) -h A — A, COsV.

On trouverait semblablement

0=z ai(a — ai) -^ 6,(^ — ^i) 4-7, (c — c,)4-^ cos V — h,

d'où

(10) — A sin'V= [a — c.) (a, cosV— «) 4- (b — b,) (6, cosV — 6)

-f- (c — c,)(7, cosV— 7).

Observant que le binôme a, cos V — a peut être mis sous la forme

a,(aa, -h 66, H- 771) — a = 7, (7a, — 7, a) — 6,(a6, — a,6)

= sinV(<77, — r6,), il vient

smV

On obtiendrait pour hi une formule tout à fait semblable. L'analogie des expressions h eli est manifeste. Elle tient précisément à cette circonstance, facile à reconnaître par la Géométrie, que la longueur h sin V est la plus courte distance de la droite Di et d'une parallèle à la perpendiculaire commune, menée par le point (a, i, c).