Démontrons d'abord que la droite dont la direction
est définie par les cosinus — 9 — » — est perpendiculaire
à la fois à la tangente et à l'axe du plan osculateur. Il suffit, pour cela, d'établir les équations
adct-\~ bd^ -^ cdy = 0, otda. -h 6 ^6 + 7 c?7 = o ;
or la dernière résulte évidemment de
et la première, de celle qu'on obtient en différentiant la relation manifeste
aa4-6^ + 7^ = 0,
et remarquant qu'on a
en vertu des équations données.
U suit de là que Ton peut poser
A = 31 — 5 p = rt: — j V — ^^- — •
u ' u tt '
niais il est permis de choisir pour l'angle de torsion un signe tel, que ces relations coïncident avec les équations (2).
283* Ces équations donnent
u = — (\da 4- yid^ -h vf/7) = ctd'k -f-êc/f* -*- ydv.
De la relation
da ds d^x — dv d^s Oi (t>ds^
on tire
tùds^d\ ■+- \d[îùds^) = dsd^x — dxd^s;
on aurait aussi
tids^dyL-^- iid{(ùds^)=dsd^jr — dyd^s^ »ds*dv -+■ vd(ùi>ds^) ^ dsd^z — dzd^s.
Si l'on multiplie par a la première de ces équations, par 6
la deuxième, par y la troisième, et qu'on ajoute les résultats,
il vient
oidsu =z oid^x -I- td^jr + yd^z.
T* 1 1 1 • dyd^z — dzd^Y ^ Remplaçant dans cette relation a par » b et y
par des expressions analogues, on trouve la formule en question [formule (e), p. 192].
284. En un point M d'une courbe, la tangente, la normale principale et Taxe du plan osculateur déterminent trois plans qui forment huit angles trièdres trirectangles. Les arêtes de Tun de ces trièdres sont parfaitement définies parles cosinus directeurs a, &, c^ X, |ui, v ^ a, 6, y, entre lesquels on a les relations (p. 191 et 192)
û» -H a» -h >* = I , è» -+- e» 4- fi» = I , c» -4- 7' -h V» = I ,
En différentîant les trois premières et tenant compte des formules (/) de la page 192,
da (loi dh r/§ de ^^7
ou obtient immédiatement les relations (1).
On y arriverait aussi, mais d'une manière moins rapide, en difléreutiant les trois dernières et ayant égard aux équations (/).
Si lés directions ()., jui, v), (X-+-A>., fx-f-A/a, v-t- Av)
(ont un angle ^, on trouve en général
4 sin^ ^ = A>» -4- Aa» -♦- Av»,
et par suite
(3) ^^» = d\^ + di^} + d?=^u^ H- w%
puisqu'on a
aa -+- 66-1-70 = o.
La relation (3) est due à Lancret.
^85. Si l'on convient de représenter les quantités relatives à Ml par les lettres adoptées pour les quantités ana-
logues qui se rapportent à M, en les accompagnant de Tindrce i, on a
d*où
dxi =z dx -f- p é/X -f- X é/p,
djTx =:dx -^ pd^-h iidp, dz^ r=z dz -f- pdv -\- ydp;
OU bien, en remplaçant rfX, dti^ dv par leurs valeurs
«, dSi = ap« -f- X É?p , 6, é/j, = 6p « -f- fx r/p , C| é£^i z=y^u -hv dp.
Il en résulte
aa^ -4- A6, -f- ce, 0,
Xa, + fx^, -h vc, --^,
pu
et par suite
ds] =zdp^-h p^u^.
Les équations (1), (2) et (3) montrent que la tangente au lieu des centres de courbure est dans le plan normal de la courbe donnée, et fait avec la normale principale au
point M un angle dont la tangente est ^ • Cet angle n'est
égal à zéro, en général, que pour les courbes planes.
Par suite d'un calcul incomplet, Lagrange avait été conduit à ce résultat, que le lieu des centres de courbure peut avoir pour tangentes les normales principales de la courbe {^Fonctions analytiques). Cette assertion inexacte ne lui serait pas échappée, comme l'a fait voir Poinsot, s'il eût poussé ses calculs un peu plus loin.
286. Le plan rectîfiant au point {x^j^^ z) a pour équation (p. igi)
(l) (X — .r)A-4-(Y — jr)ft + (Z — z)v = o.
En la combinant avec celle-ci,
(X — j:)û?X-4- (Y-— j)i/fA-+- (Z — z) Jv = >ûtr + |X£/7-f-v^z = o, on en conclut les équations de la droite rectifiante, qui sont X— r Y— y Z— z
Remarquant qu'on a [formules (i) et (g^), p. 191 et 192]
|x<fv — vdu. =z iJi{yu t — cw) — v(6tt — A») = au -h aw,
et des expressions analogues pour les autres dénominateurs, on met ces équations sous la forme
au -4- aw bu ■+- 6« eu -f- yw
d'où résulte que les cosinus directeurs de la rectifiante sont
au -\- aw bu + €w eu -{- 7w
^Ju"' -4- w^ \fû^ -+- w^ yju^ -h w'
par suite, cette droite fait avec la tangente un angle dont le cosinus est égal à » Si donc on prend sur cette tan-
gente à partir du point M une longueur MA = p, et qu'on mène par le point A une parallèle à Taxe du plan osculateur, cette parallèle rencontre la rectifiante en un point B tel, qu'on a
287. Le plan normal au point (^,jKî ^) d® '^ courbe a pour équation (p. 191)
et la recherche des coordonnées du centre de la sphère osculatrice revient à déterminer les valeurs de X, Y, Z qui satisfont au système
(2) N = o, fi?N = o, rf'N = o,
les différentielles étant prises par rapport à une variable indépendante dont toutes les autres variables sont des fonctions. La seconde équation de ce système prend la forme
et la troisième revient à
^ * V », . , da ,, , , db de
(4) lX-x;«f-+(Y-^)rf--H(Z-.)rf-=o.
Les équations (i) et (4) donnent immédiatement
. ,dc ^db .da de .db , ,da
od^ cd-— cd— ad-—- ad— bd—-
ds ds ds ds ds ds
OU
bdc — cdb\ .Icda — adc\ .ladb — bda
)icda — adc\ l adb — bda\
ds Or on a [formules (/*), p. 192]
bdc — cdb bv — cp a
ds p p '
pdoL — adp puT^-h ocdp
De là, et d'autres transformations analogues, on conclut
X — ^ Y — jr z — z
pul-hoLffp pun-h^dp puv-hydp
(X--J:)).-|-(Y-r)fx-4-(Z~2) v
ûU
D'ailleurs l'équation (3) peut s'écrire
(X -x)l-h (Y -7)fx + (Z - «)v = p;
par suite, les coordonnées ç, yj, 1^ de m et le rayon R de la sphère osculatrice sont donnés par les formules
Ç — j: — p). yj — X — Pli Ç — z — pv dp
a 6 'j ds
