Les formules (<i), (e), (/) de la page 192 donnent

les relations

da doL

ds ds

db €/S

de tZ-y

" ds ds

d'où, en désignant par A, B, C des constantes arbitraires,

(l) p«H-ra=:A, p^-4-r6=:B, pc -f- ry =r C.

On déduit de là sans difficulté

AX-t-Bp-+-Cv = o, Afl4-BA-f-Cc=:p, Aa-f-B6 -+-C7 = /^.

Ces dernières équations montrent qu41 existe une droite fixe, perpendiculaire à la normale principale de la courbe, et faisant des angles constants avec la tangente et Taxe du plan osculateur. Les cosinus directeurs de cette droite sont proportionnels à A, B, C, et si Ton suppose qu'elle soit prise pour Taxe des ^, on a

Ar= G, B = o, d*où résulte

(i) pfl-4-/-a = o, pè-f-/^6 = o, V = O.

On trouve aussi c constant, ce qui devait être (n° 288). Si Ton observe qu'en général

a = 6v — cpi, 6 :^ cX — av.

les équations (i) nous donnent

pa:=: cr^ , pb = — cri ,

OU bien

db da

az=: cr —-y, 6 = — cr -rr-^ ds ds

OU enfin

djc =z cra —-^ dr = — cra—-»

as as

On tire immédiatement de là, en désignant par Xq et j^ deux constantes arbitraires,

dr dv

x^ar^ = cr — -9 7— ^0 = — cr--i ds ds

et par suite,

par conséquent

(.r — xo)' -4- {x —XoY = const. ,

équation qui représente un cylindre à base circulaire.

290. Désignons toutes les quantités qui se rapportent au point Ml de la deuxième courbe par les mêmes lettres adoptées pour les quantités relatives au point M, en les accompagnant de l'indice i. On a (p. 191 )

On en tire

dxx =z dx -h hdky d/i = djr -V- hd^L^ dzx = dz -{- k d-j , ou bien aidSi=ads -h hdXy bidSi = bds -h hd^^ Cxdsxz=cds -\- hdt.

Il en résulte

, ds — Aw

aa^ -4- bbx -h cCi:=

dSi

Telle est la valeur du cosinus de 1* angle que fait la tangente en Ml avec la tangente en M. Quant au cosinus de l'angle que la première tangente fait avec la normale principale en M, il est égal à zéro, puisqu'on a

On trouve enfin, pour le cosinus du troisième angle

cherché,

-, hu

aat 4- 06, H- 7c, = --— •

D'ailleurs, la somme des carrés de ces trois cosinus doit être égale à i ; d'où résulte

291. I® Conservant les mêmes notations que dans le précédent numéro, il faut et il suffit que la tangente en Mj soit perpendiculaire au plan normal en M, ce qui exige qu'on ait

aa, -4- € ^, -f- «yCi = ^w ,

OU bien

tt =0,

c'est-à-dire que la courbe soit plane.

2*^ Les cosinus directeurs de la normale principale en M|

sont

dut dbx dci

ci>, c^i ea,

il faut et il suffit que sa direction soit perpendiculaire au plan rectifiant en M (n** 286), ce qui conduit à chercher la valeur du trinôme

a dai -h 6 dbi -+- 7 rfc,.

Or on a (n^290)

, hu

a«, 4-06, ■+■ yct= —-,

dsi

par suite,

et en vertu des relations (/) de la page 192

dx = — "k lly do r=: — a«, c/7 = — vw,

la dernière équation se réduit à

adat -h ^dbi-^ ydc^zizd ( — J ;

la condition cherchée est donc exprimée par

d où Ton tire (n° 290)

k désignant une constante.

Ce résultat est dû à M. Bertrand,

292* En prenant x pour variable indépendante et posant ^*-f- 20:*= m*^ on obtient les résultats suivants :

ip^x^