NUMÉRATION DÉCIMALE

Puissances de nombres entiers.

1. Trouver la loi de formation des nombres dont les carrés sont terminés par deux chiffres égaux. (Brocard, N. A., 971.)

(Morel, 71, 44, 187.)

2. Trouver les nombres dont les carrés s'écrivent toujours de

la même façon dans tout système de numération analogue au

système décimal, dont la base est plus grande que 4-

(GUÉRHARD, N. A., 1010.) {Moret'Blanc, 71, 43i.)

3. Trouver un nombre qui soit égal à la somme des chiffres de son cube. (Laisant, N. A., 1293.)

(Moret'Blanc, 79, Sag.)

*k. Parmi les chiffres de rang 4/? H- 1 des puissances successives de 5, les chiffres 3 et 8 se trouvent en plus petit nombre que tous les autres. Par exemple, parmi les 64o chiffres de rang 9 ( centaines de millions) de 64o puissances successives quelconques de 5, chacun des chiffres 3 et 8 se trouve soixante fois, tandis que chacun des huit autres chiffres s'y trouve soixante-cinq fois.

(Cesaro, N. A., 1432.)

*5. Les chiffres de rang /i, dans les puissances successives d'un

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nombre quelconque, se reproduisent périodiquement. Pour les puissances de 5, la période se compose de 2'*~*(/i > 3) termes, dont la somme est le double de 9.2"-'* — i. Dans cette période,

un même chiffre est répété ^ (2'*~'-h cp) fois; cp ayant, pour

chaque chiffre, des valeurs différentes, suivant la forme de n, comme Findique le tableau suivant. On a

(n=itp). (n='»^-f-l). (n=.c%p+-'ï). («=*;?-»-3).

Pour et 5, (p 3 i 2—1

(CesIro, N. a., 14.48, N. C, 508.)

6. Toutes les puissances d'un nombre terminé par 1289062,5 se terminent, aussi, par 12890625. (N. C, 475.)

{Laisant, 79, 217; 80, 43.)