NUMÉRATION DÉCIMALE

Autres questions.

10. A et B sont deu^ nombres entiers positifs, ayant plus de la moitié des chiffres à gauche en commun ; et A > B ; on a

^ ^ I toujours A'' — B''^ -; p est un nombre entier positif.

(N. A. 72.) {Colombier j 43, 4^80

*ll. Soient A, B, C, . . . des nombres dont le premier chiffre à gauche n'est jamais zéro; a, 6, c, ... ces nombres lus de droite à gauche.

J'appelle nombre symétrique un nombre tel que deux chiffres à égale distance des extrêmes soient égaux.

Exemples: 1221, 12 421.

J'appelle pseudo-symétrique d'échelle /? un nombre tel que la somme de deux chiffres, à égale distance des extrêmes, soit/^ ou zéro; s'il y a un nombre impair de chiffres dans ce nombre et que p soit impair, le chiffre du milieu doit toujours être zéro ;

si p est pair, le chiffre du miiieu peut être soit zéro, soit — •

Exem,ples : 6o35o2, 6o3o5o2, 6o345o2 sont pseudo-symétriques d'échelle 8.

Cela posé :

I® Si A a n chiffres, trouver combien de valeurs différentes peut prendre la somme A -h a quand A varie de ar"^-'^ à .r", jr étant la base du système de numération;

2** Si l'on aA-ha=z::B-i-6, A ayant n chiffres, B en ayant /i + I et étant tel que la somme de deux chiffres à égale distance des extrêmes soit plus petite que Xj le nombre A-h a=iB -h b sera symétrique, et A sera pseudo-symétrique d'échelle ^ -+- 1.

Exemple : on a (a? 1= 10)

N. A 4- fl.

= 1001 I0OOI2O -H 0210001 lOOI

(E. Lemoine, n. a., 1527.)

l58 ALGÈBRE. — THÉORIE DES NOMBRES, ETC.

12. Trouver des couples de nombres dont le produit ail tous ses chiffres égaux. (J. Plateau, N. C, 307.)

(^Angenotf 78, 6i.)

13. Un nombre est divisible par 7 lorsque la différence entre le nombre de ses dizaines et le double du chiffre des unités est un multiple de 7. (Mennesson, N. C, 3W.)

[Mennesson, CesàrOyl^j i5i, i56(i).]

14. Aucun nombre terminé par 3 ou par 7 ne peut diviser exactement : i® le produit de deux nombres consécutifs diminué de Punité; 2® le produit de quatre nombres consécutifs augmenté de l'unité; 3° le produit de quatre nombres consécutifs diminué de quatre unités. (E. Lucas, M., 219.)

{Fauquembergue, 86, Sg.)

15. Un nombre triangulaire n'est terminé par aucun des chiffres 2, 4, 7, 9- (Cesàro, M., 287.)

{Brocard, 84, 70.)