a, b étant deux nombres entiers quelconques, la fraction

est égale à un nombre entier (*). (Catalan, N. A., 1135.)

{Bourguet, 75, 89, 179.) (S).

76. 1° La somme des /n»®™" puissances des nombres premiers à N et non supérieurs à ce nombre est divisible par N, si m est impair.

2° La somme des produits m k m des nombres premiers à N

(') Énoncé rectifié d'après l'auteur; Voir même Recueil, 61, 464' (') Sur quelques questions relatives aux fonctions elliptiques, seconde Note (Académie des Nuovi Lincei, 1878). J'ai donné plusieurs théorèmes d'Arithmétique dans mes Recherches sur quelques produits indéfinis (Gauthier-Villars). {Note de l'auteur.)

(') Généralisation.

et non supérieurs à ce nombre est divisible par N, si m est impair. (E. Cesàro, N. A., 1^50.)

(Moret-Blanc, 84, 483.)

T7. Prouver que

(C,n-,p.n-pXC,p ,p)^ = entier.

(Catalan, N. A., 1548.)

78. Soient A, B, a, b, c des nombres entiers positifs, et looa -f- 106 -h c divisible par 10 A -+- B : démontrer que

cX^ — bAB-^ aB« est, de même, divisible. (P. -A. Mag-Mahon, N. A., 1553.) (Brocard, 91, 18*.)

*79. Démontrer que la somme des puissances semblables des a: premiers nombres, augmentée ou diminuée de Funité, est divisible par ^4-2. (E. Lucas, N. C, 316.)