Démontrer que

m{m — i)(ni — 1) , , ,{m — n -\-'jl)

est un nombre entier, lorsque m est un multiple de n.

(Ch. Hermite, j. s., 257.) {Catalarij Beyens, 89, 19, 22.)

94-. On sait que les coefficients de la puissance m}^^^ du binôme sont divisibles par m, à l'exception du premier et du dernier, lorsque m est un nombre premier.

jo On propose d'étendre cette proposition en montrant que l'expression

^ ' ni

est divisible par -^> 8 désignant le plus grand commun diviseur

de m et /î.

2^ Soit e le plus grand commun diviseur des nombres m + 1 et n; on demande d'établir que le nombre entier (A) est divisible par

(Ce. Hermite, J. S., 258.) {Catalan, 89, 20; 91, 70.)

Décomposition des nombres en facteurs.

95. Un nombre pair donné étant décomposé, autant de fois que faire se peut, en deux facteurs, l'un impair (l'unité comprise) et l'autre pair; la somme des facteurs pairs, moins la somme des facteurs impairs correspondants, est égale à la somme de tous les diviseurs de la moitié du nombre donné.

(Jacobi, N. a., 24.9.) (Dallot, 52, 126, 186.)