On a

= ai a? -+-«2^* H- «3^^ + . . .-f-a^^'^-f-. .. a,i= ^^ — -*

S(/i) désigne la somme des diviseurs du nombre n,

(N. A.,âi3.)

106. Représentons par S/? la somme de tous les diviseurs depj l'unité et/? compris. Soient i, d^ d^y d^, . . ., m tous les diviseurs du nombre m. Faisons

on aura cette identité

= — 2 14- ( 81 )2 2 û?, -}- ( 82 )* 2 (a((o -r- ( 03 )2 2 ^3 -f- . . . -h I 2 m, où 2i = i.

Exemple :

m = 6, di= '2, û?2 = 3,

2<ii=3, 2<i2=4, 26 = 12, 81=3, 82 = 2, I-+-2.3 -4-3.4 -1-6.12 = 36, n-9.3-t-4.4-f-i2 = 9i; l'identité peut s'écrire ainsi d'une manière abrégée

(J. LiouviLLE, N. A., 381.) {Hemmingf 65, 547.)

l8o ALGÈBRE. — THÉORIE DES NOMBRES, ETC.

107. La somme des jp'*'"" puissances des diviseurs de n est ^gale, en moyenne, à

nP\\-\ —7 -h r r -+-... ).

(Cesaro, N. a., 1402.)

108. Of by Cy ... étant les diviseurs de n^ on a, en moyenne,

p p p II 1

(CbsIro, n. a., 1403.)

109. La différence entre le nombre des diviseurs impairs et le nombre des diviseurs pairs d^un nombre entier est égale, en moyenne, à I2. (Cesàro, N. A., 1438.)

110. Le nombre des diviseurs de n est égal, en moyenne, à In. (Cesàro, N. A., 1439.)

111. La somme des inverses des/?»*™*' puissances des diviseurs de n est égale, en moyenne, à

(Cbsàro, n. a., 1440.)