Soient a, b, Cy ... les diviseurs de n, La somme

abc

pa pb pc

€St égale, en moyenne, à • (Cesàro, N. A., 1441.)

113. La somme des jd'*™" puissances des diviseurs de n est égale, en moyenne, à 9.nP, La constante a est comprise entre

I et — h I. Déterminer sa valeur. (Cesàro, N. A., 1443.)

DIVISIBILITÉ ARITHMÉTIQUE. l8l

114. La somme des restes du nombre entier n^ divisé par chacun des nombres entiers qui le précèdent, augmentée de la somme des diviseurs des nombres non supérieurs à n, est égale à /i« (>). (Cesàro, N. a., 1449.)

115. La somme des diviseurs des nombres i, 2, 3, ,.,, n égale la somme des plus grands multiples de ces nombres, non supérieurs à n, (Catalan, N. C, 447.)

(Cesàro, 78, 829; 79, 22, 296.)

116. Soit <p(a/i) le plus grand multiple de a contenu dans n. Soit fnlsL somme des diviseurs de n. On a

(Catalan, N. C, 550.) (Badicke, 80, 268, 280.)

117. Si /(n) est le nombre des diviseurs impairs de n, et que F(/i) soit la somme des diviseurs pairs de n, on a, en supposant/(o) = 0, F(/i) = n :

Dans cette formule, i, 3, 6, 10, ... sont les nombres triangulaires. Exemples :

n = i4 :8H-i4-+-i2-4-i-hi = i6-h.H-.-M4-i-6,

/i = i5 : 24-h8-H4H-i3-t-6-ho = 6.-M6-h24-+-.-+-.-f-i5.

(J. W. L. Glaisher, n. c, 478.)

(^) Ce théorème a été énoncé par M. Catalan, comme suit : « La somme des diviseurs des nombres i, 2, 3, ..., n, égale la somme des plus grands multiples de ces nombres non supérieurs à /i. »

Voir question suivante (115). {JVote de l'auteur.)

(*) A rapprocher de la question précédente.

l82 ALGÈBRE. — THÉOBIE DES NOMBRES, ETC.