Soit Un le plus grand diviseur impair de n. Démontrer

que

a\ aj a% a^ it*

{Mantel, 88, aoB.)

(Cesàro, m., 531.)

Nombres premiers entre eux. ^ Codiviseurs.

Comultiples.

119. Toute progression arithmétique où la raison et le premier terme sont premiers entre eux renferme un nombre infini de termes premiers à un nombre donné quelconque.

(Jacobi, N. A., 316.) {Durand, 56, 296; 58, SgG.)

120. Le plus petit commun multiple m de /i nombres entiers ay by c, . . ., ky l est égal au quotient de leur produit P par le plus grand commun diviseur D des produits n — i k n — i de ces n nombres. (Le Besgue, N. A., 912.)

(André, 69, 78.)

121. Le plus grand commun diviseur D de n nombres entiers a, b, Cy . . ., k, l est égal au quotient de leur produit P par le plus petit commun multiple m des produits, n — i à /i — I, de ces nombres. (Le Besgue, N. A., 913.)

(André, 69, 78.)

122. La formule a ^ 4- 6, où a et ô sont premiers entre eux, ne renferme que des nombres premiers à m, si tous les diviseurs premiers de m divisent a. Mais, si m a des diviseurs premiers /?, ^, r, ■. . . , qui ne divisent pas a, sur m nombres consécutifs compris dans ax 4- by en posant

X = cty a + i, ..., a-hm — i,

DIVISIBILITÉ ARITHMÉTIQUE. l83

il y aura

nombres premiers à m, (Gauss, N. A., 914.) {Morel, 69, 238.)

123. Le déterminant de (/i— i)* éléments, dont l'élément général w/y est égal au nombre des diviseurs communs de t -4- i , j-hi, représente la totalité des entiers, non supérieurs à n, dépourvus de diviseurs carrés, autres que l'unité.

(GesIro, n. a., 1522.)

124. Trouver trois nombres entiers, premiers entre eux deux à deux, tels que la somme des deux quelconques d^entre eux n'admette pas de facteurs premiers autres que ceux qui sont contenus dans le troisième. Exemple 3, 5, 22.

(E. QuÉTELET, N. G., 4.2.)

125. Le plus grand commun diviseur entre un nombre c et le plus petit multiple de deux nombres a, b est égal au plus petit multiple des plus grands communs diviseurs entre les nombres a, c et entre les nombres 6, c

D jm(a, 6), c = m JD(a, c), D(6, c) .

(G. MoRBAu, N. G., 223.) (Freson, 77, 222.)

126. Si Ton représente par {i, k) le plus grand commun diviseur entre i et ky et par (p(i) le nombre des entiers premiers à / et non supérieurs à /, Ton a

= cp(i).ç(2).<p(3)...<p(n).

(Smith, N. G., 324) (1).

{Catalan, 78, io3.)

C) Nous espérons pouvoir donner, bientôt, une démonstration de ce

127. a et b désignant deux nombres entiers quelconques, trouver la somme des nombres premiers à a et inférieurs au produit ab. (Mennesson, N. C, 348.)

128. a et b désignant deux nombres entiers, premiers entre eux, trouver la somme des nombres premiers au produit ab et inférieurs à ab. (Mennesson, N. C, SW.)

(De Marsilly, 78, i54.)

129. Soient «j, a,, . . ., a^^^) les ^{n) nombres premiers à n et non supérieurs à n, La somme de leurs produits cp(/i) — i à <p(n) — I est un multiple de n, (Mennesson, N. C, 366.)

(Cesàro, 79, 56.)

*130. Soil la suite

I, 2, 8, 5o, 4i8, 434B, ..., dont les termes satisfont à la condition

Mrt = (2 /l — 1) Un-i — ( /l — I ) Wn-j.

Le p. g. c. d. à Un et m„+i est 2^, q étant le quotient entier de 2 /i 4- 1 par 8. (Sylvester, N. C, 520.)

131. On désigne par ^{a) le nombre des entiers non supérieurs au nombre a et premiers avec lui, et par «K») le nombre des entiers plus grands que a, premiers avec lui et non supérieurs à un nombre quelconque /i, connu.

I® Calculer l'expression àe^{a)\

2° Démontrer que

cp(2)-h<p(3)-h...cp(n) = (K2)-i-tj;(3)-h...^(n);

remarquable théorème, dont M. Mansion a déduit des corollaires encore plus remarquables. {Note de la Rédaction.)

DIVISIBILITÉ ARITHMÉTIQUE. l85

3° Démontrer que

2<p(2)-t- 3<p(3) -H. ..-H/icp(n) = 2[2iK2)-H 3tK3)4-...4- n^{n)],

(Ed. Lucas, N. C, 525.) {Radicke, 80, 267.)

132. Le plus petit multiple de i, 2, 3, . . ., 2/1 est égal à celui de /i-i-i, /n- 2, . . ., 2/1. (Catalan, M., 896.)

{Hacken, 94, 286.)