Le nombre p étant supposé premier, et les deux groupes

formant deux systèmes complets de résidus premiers par rapport au module /?, il y a nécessairement deux indices différents i et k, tels que les produits r^Si, et /-^t^A: sont congrus par rapport au module/? (*). (A. Hurwitz, N. A., 1417.)

{Chabanely 83, 427.)

139. I® La somme des produits m km des n premiers nombres naturels est divisible par tous les nombres premiers compris entre /n -f- 1 et /i -h 2, et supérieurs k n — m,

2<* La même somme diminuée de 1.2. 3... m, est divisible par n — m, si ce nombre est premier. (Gesàro, N. A., 1445.)

140. Le nombre premier /?=: 2/1 4- i étant supérieur à 3, la somme des puissances, d'un même degré pair 2 a compris entre o el p — I := 2/1, des n entiers 1,2, 3, . . . , /i, et celle des puissances, du même degré, des n entiers suivants /i -h i, /iH- 2, . . . , p — iz=2nj sont divisibles par/?. (Lionnet, N. A., 1467.)

{Moret-BlanCy 84, SgS.)

141. Démontrer que la somme des carrés des coefficients binomiels d'un nombre entier positif a,

* = o n^ est jamais divisible par un nombre premier /? >► 2 a ; mais

(* ) C'est-à-dire que la différence de ces deux produits est divisible par j!?.

l88 ALGÈBRE. — THÉORIE DES NOMBRES, ETC.

toujours divisible par tous les nombres premiers compris entre et ) où n est un nombre entier positif et <Ca;

et que la même somme n'est pas divisible par un même nombre premier p compris entre ?r et > excepte si une puis-

sance de p (supérieure à l'unité) se trouve dans l'intervalle de a jusqu'à 2a, [Szily, N. A., 1655 (*).]