Le nombre

\ 2 3 p — ij

n'est divisible par jd' que si/7 est un nombre premier supérieur à 3. (G. OsBORif, M., 886.)

154. Si p est un nombre premier autre que 2, et q un entier inférieur k p — i, en posant

^p.q H- ^ -f- 1 est un multiple de p. (De Longchamps, J. E., W7.> {Grolleau, 93, 279.)

Autres propriétés.

155. Soient/? un nombre premier plus grand que 3, et /* un nombre quelconque de la suite 2,3,4» " -j p — 2.

Ecrivons de gauche à droite sur une ligne horizontale la progression I, 2, 3, 4» '--yPi et au-dessous une deuxième ligne horizontale i -f- r, 2 -H /', 2 -i- r, ...,/?-+- r; puis une troisième ligne i-h2r, 2 H- 2;-, 3 -h 2/*, ...,/?-{- 2 r, et ainsi de suite jusqu'à la dernière ligne ! + (/? — i)/-, 2-f-(p — i)/-, ..., p -^{p — i) ^, et toutes les fois qu'on aura un nombre plus grand que Pf on n'écrit que le résidu de ce nombre divisé par/?.

Démontrer qu'on ne rencontre aucun nombre répété dans

aucune ligne horizontale, dans aucune ligne verticale, dans aucune des deux lignes diagonales. (Crelle, N. A., 299.)

{Painvirij 55, 257.)

156. Si/? et 4/> 4- 1 sont deux nombres premiers absolus, 2 est

racine primitive relativement au nombre 4/> -Hi (*)•

(TcUEBYCHEF, N. A., 343.) {Bochette, 57, iSg.)

157. Si E(^) désigne la partie entière du nombre q] /?!, p^, />3, ... la suite des nombres premiers 2, 3, 5, 7, ...; Sy,^ la somme des produits y à j des /inombres i, 2, 3, ..., n; F(i)(«2^) un polynôme du degré w et à coefficients entiers, on aura

l'exposant cp d'un nombre quelconque p étant donné par la formule

» = yE i

(Sylyester, n. a., 791.)

158. p et g désignant des nombres premiers respectivement des formes i8/i-i-5 et i8/n- 11, il est impossible de décomposer en deux cubes, soit entiers, soit fractionnaires, aucun des

nombres suivants

(Ed. Lucas, 78, 507.)

(Sylyester, N. A., 802.)

(*) Énoncé par réminent arilha)oIogue dans un Ouvrage sur les congruences, publié en langue russe à Saint-Pétersbourg. In-8» de 279 pages; 1848. {Note de la Rédaction.)

192 ALGtoRE. — THÉORIE DES NOMBRES, ETC.

159. Lorsqu'un nombre premier est de la forme i H- 2**, Texposant n est nul ou de la forme 2*. (Lionnbt, N. A., 881.)

[Toubin, 71, 181 (*).]

160. Tout nombre pair est-il la somme de deux nombres premiers impairs? (*) (Lionnet, N. A., 883.)