Le nombre des nombres premiers compris entre un

nombre entier positif A et son double est moindre que celui des

nombres premiers non supérieurs à A.

(LiONNET, N. A., 1075.) (Brocard, Lionnet, 76, 33o, 473.)

181. Si un nombre premier P est égal à la somme de trois carrés, P* est généralement égal aussi à la somme de trois carrés ; il ne pourrait y avoir exception que si P était décomposable en deux carrés (*). (Catalan, N. A., 1128.)

{Le Besgue, 74, m .)

182. Le nombre des groupes de cinq impairs consécutifs, dont quatre sont des nombres premiers, est-il illimité?

(LiONNET, N. A., 1407.)

183. Prouver que 2'* — i et 2*^'' — ï sont des nombres premiers. (Ed. Lucas, N. C, 92) (2).

( ' ) Encore n'est-il pas sûr que ce cas d'exception puisse se présenter : le nombre premier 29 = 16 + 9 + 4 = 25 + 4; néanmoins 29' = 24'+ 16' + 3*.

{Note de l'Auteur,)

(•) Si l'on admet ces deux propositions, et si l'on observe que 2» — i, 2* — 1,2' — I sont aussi des nombres premiers, on a ce théorème empirique :

Jusqu'à une certaine limite, si 2" — i est un nombre premier/?, 2? — i est un nombre premier /?', 2?' — i est un nombre premier /?", etc.

Cette proposition a quelque analogie avec le théorème suivant, énoncé par Fermât, et dont £uler a montré l'inexactitude :

Si n est une puissance de 2, a» + i est un nombre premier.

{Note de Catalan,)

184. On forme les entiers Tq, r^, Tj, ... d'après la relation

et Ton prend les résidus suivant le module

Cela posé, M est premier si le premier résidu nul occupe le rang ^n-h2] M n'est pas premier si aucun des résidus dont le rang est égal ou inférieur k ^n-{- 2 n'est égal à zéro.

Exemple numérique, — Soit /i = i, M = 1469, on a les

résidus

Donc le nombre i459 est premier. (Ed. Lucas, N. C, 350.)