Résoudre en nombres entiers l'équation

(Catalan, N. A., 1475.) {Fauquembergue, 84, 346.)

206. Trouver une infinité de valeurs entières de v^ x^ y^ z, telles que l'expression

soit égale au double d'un carré.

ANALYSE INDÉTERMINÉE. 2o3

Exemples :

I* — I.(l-|- I-h2)-hI.Ï-i-I.2-h2.I=2.l2, 92 — 9(1 -}- 8 -t- 8) H- I .8 H- 8.8 -f- 8. I = 2.22,

(S. Realis, N. C, 539.) {CesàrOy 80, 273.)

207. Trouver, par des formules directes, une infinité de valeurs entières de x^ y, -s, telles que l'expression

i{xy -i-yz H- zx) — (x^ -\- y^ -h z^)

se réduise à un carré pair, assigné d'avance.

Exemple. — Le carré donné étant 36, on a

2(2.5 -h 5.5 H- 5.2) — (22-t- 52-h 52) = 36, 2(2.5 -\- 5.9 H- 9.2) — (22-f- 52+ 92) = 36, ^(i'9 -H 9.10-4- ici) — (i2 -4" 92h-io2)=36, 2(1.10 -i- 10. i3 -hi3.i) — (i2-hio2-4-i32) = 36, 2(i.i3-f-i3.i8-hi8.i) — (i2-}-i32-f-i82)= 36,

(S. Realis, M., 48.) {Rochetti, 81, i65.)

208. Trouver une infinité de solutions entières de chacune des équations

X2h-Y2 4-Z2-= 7(^:2 -hj2 + ^2)^ X» -H- Y2 -+- Z2 = 19(^:24-72 -+-^2), X2 4- Y2 -h Z2 = 67(372 -+- ^2 ^ ^2)^

(5. Realis, 82, 64.)

(Catalan, M., 88.)

209. Quels sont les polygones dont le nombre des diagonales est un carré? (De Rocquigny, M., 282.)

{Jamet, 86, 162.)

210. Trouver n nombres entiers consécutifs dont la somme soit le double d'un carré. (De Rocquignt, M., 524.)

{Jamet, 86, 277.)

211. Trouver pour a et 6 des valeurs entières telles que l'expression

se réduise à un nombre entier. (M., 650.) {Jamet, 89, 278.)

212. Trouver pour x une valeur entière qui rende carrés parfaits les expressions 4^4-5, 5a?-h/'|. (M., 654.)

(Emmerlch, 90, lyi-)

213. Assigner, par un procédé direct, une infinité de solutions entières de l'équation indéterminée

dans laquelle a est un entier donné.

JVote, — On trouvera deux séries de solutions; Tune commence par les systèmes de valeurs

x = a-^-iy (a7 = 3a-h4» Ia7 = iia-hi5, ....

y = Uj j^ = 3a-i-i, l y = iia-h i,

L'autre série se déduit de la précédente, en observant que, si l'on change a en — a, l'équation demeure la même, à l'échange

ANALYSE INDËTERMINÉE. 2o5

près des indéterminées Tune dans l'autre. On a donc encore, pour la proposée, les solutions

07 = a, { X = 3a — i, i x = lia — 4) •••?

^ = a — i, \ y =z3a — 4, |^ = iia — 15,

(S. Realis, J. s., 140.)

(Ferval, 89, 94.)

214-. On propose d'assigner, par un procédé direct, une infinité de solutions entières de l'équation indéterminée

(a2 — a — i)t* — (2a* — 3)xy -h(a^-h a -\-ï)y^ = i,

a étant un entier donné.

Note. — On trouvera, en outre des valeurs initiales œ^iy j^ =z I, les deux séries de solutions

j rr = a -h 2, j a? = 3a H- 5, la? = 8a-+-i3, ..., (j = a-l-i, f7 = 3a + 2, l y = Sa-h 5, ...,

x = a — 1, ix = 3a — 5, {a7 = 8a— 5, ..., y = a — 2, iy='àa — 5, \y=Sa — 13, ...,

se déduisant l'une de l'autre, comme dans la question précédente. (S. Realis, J. s., 141.)

{Ferval, 89, 118.)

215. 1° Trouver les nombres qui sont à la fois triangulaires et pentagonaux; c'est-à-dire : résoudre en nombres entiers

l'équation

x{t-^\) jK(3r=Fi)

2° Théorème. — Tout nombre triangulaire, s'il n'est pas pentagonal, est la somme de moins de sept nombres pentagonaux.

3<» Théorème. — Si, au double d'un nombre triangulaire, on

ao6 ALGÈBU. — TQËOMIB DES nOMBHES, ETC.

ajoute un carré, on obtient la somme de deux nombres triangulaires (l'un de ceux-ci peut être nul) (').

4° Dans quel cas a-t-on

{GATiLA^, J. s., 353.)

316. Donner explicitement toutes les valeurs entières de n pour lesquelles :

1° 2/1* — 1 est un carré parfait;

2° 3/1* + ! est un carré parfait. (E. Lemoinb, J. S., 360.)

{Catalan, 93, 22.)

217. Trouver toutes les valeurs rationnelles de a, a', a', b, V, b', C, c', c" qui satisfont aux équations

(Catalan, J. S., 371.)

Deuxième degré; propriétés.

218. Supposons que a' puisse se décomposer de n manières en produits de facteurs inégaux (i .s'' compris); démontrer que