Le quotient

est toujours un carré parfait, mais n'est jamais un bicarré.

(Ed. Lucas, N. C, 468.)

{Radicke, 79, 2i3; Cesàro, 80, 467.)

Autres équations indéterminées.

307. Deux nombres entiers consécutifs, autres que 8 et 9, ne peuvent être des puissances exactes (*). (Catalan, N. A., 48.)

(*) Dans sa lettre, M. Proth ajoute : « Ce théorème généralise, je croiç, un théorème démontré par M. Gerono (Nouvelles -<4/ina^e5, juillet 1877). »

Note de Catalan,

(') La même proposition a été énoncée par Catalan dans le t. XXVII, iS^i, du Journal de Crelle (p. 192). (A ce propos, nous croyons que cette communication a été la seule de Catalan à ce Journal.) C'est, disait-il,

23o ALGÈBRE. — THÉORIE DES NOMBRES, ETC.

308. 8 et 9 sont-iJs les seuls entiers consécutifs qui soient des puissances de nombres entiers? (*). (Lionnet, N. A., 884.)

309. Sm désignant la somme des puissances /n^*"" des sommes de la suite des nombres naturels de o à /i, on aura, si m est impair et plus grand que i,

S„t = /i2(n4-i)2cp[;i(/i-f- l)] = M*Cp(M),

en posant n(/i -h i) = m, et cp désignant une fonction entière.

(Jacobi, N. a., 196.) {Prouhet, 51, 198.)

310. Le produit de plusieurs nombres consécutifs ne peut être une puissance parfaite lorsqu'un de ces nombres est premier absolu. (Mathieu, N. A., khi.)

(Moreau, 72, 172.)

311. Trouver n nombres entiers et positifs, dont la somme égale le produit. (N. A., 611.)

{Housely 62, 67.)