Démontrer la formule

I — q^ I — q"^ 1 — q^ ' i — q^^ = y -f- ^r* -4- ^9 -h g'ifi 4- ^25 |.

Dans le premier membre la fraction — --- est prise avec le ^ I — y2 f

signe + ou avec le signe — selon que a est le produit d'un nombre pair ou d'un nombre impair de facteurs premiers. II y a exception pour le premier terme. (Baschwitz, M., 826.)

(Cesàro, 93, 2o5.)

376. A et B élant deux nombres positifs quelconques et m un nombre entier positif, démontrer que l'on a toujours

(A + Br;2'"-'(A'« + B'"). (M., 853.)

(Droz-Farny, 93, 210.)

377. Soit Sp la somme des p'^"^''' puissances des n premiers nombres entiers. Démontrer que

S:^|sî(S,~i)-t-Sj. (M., 908.)

(Brocard, 94, 209.)

Questions diverses.

S78. Trouver tous les systèmes de quatre nombres positifs a, b, c, d, tels que les dix nombres

« + 6-[, a-hc-l, a-^d—l, A-HC — I, b-^d-t, c^d — i,

■i — d~a--b, a — tt-6— c

soient les inverses de nombres entiers.

(LEViVASSEUR, N. A., 165-2.)

•379. Si l'on pose le hessien de la fonction

est aussi de la forme ^--4- ay'^. Que peut-on en conclure dans le cas particulier de /z =: 3^? (Ed. Lucas, N. C, 136.)