Dans quel cas la racine carrée de

A -H /B -H s/G -T- v/î5 a- 1- elle la forme

A, B, C, D, flr, />, c étant des nombres commensurables?

381. Si Srt est égal à la somme des restes du nombre entier tiy divisé par chacun des nombres naturels qui le précèdent, on a

S2^— I r= S 2^-. (Proth, N. c, 388.) (CesàrOj 80, 77.)

382. Si le nombre n est décomposé en parties appartenant aux progressions

I* J» ^ O, m • , ^ ce y m • • J

la somme des fractions

i.a.3...ax2.4«t)...26 X 3.6.9...3cx...

égale l'unité. (Catalan, N. C, kkS.) (79, 826.)

383. Si le nombre n est décomposé en parties appartenant aux progressions

la ^ j \J ^ • • • y Cv j • • 9 y

JL^ l\ ^ v)f •••y ^L^f «««^

\Jj vlj 1-1 ^ s.»^ \jC/^

la somme des fractions

i.2.3...aX2.4.6...'26 X 3.ti.9...3cx...

égale le nombre des décompositions (*).

(Catalan, N. C, 4.65.)

384. Si, après avoir rangé dans leur ordre de grandeur les fractions irréductibles dont le dénominateur n'excède pas un nombre entier donné, on prend à volonté dans la suite ainsi formée trois fonctions consécutives

a A -h a 6 "^ B~-rp '

Ainsi, par exemple, si le dénominateur est inférieur à 8, on trouve les fractions suivantes plus petites que l'unité et vérifiant le théorème

{Pullich, 81, 161.)

(J. Farey, m., 22.)

385. Soient K,n la moyenne arithmétique des //l'èmes puissances des nombres non supérieurs et premiers à N; B,,^ la moyenne arithmétique des produits m à m des mêmes nombres. Démontrer les relations symboliques

(Gesàro, m., 67.) ( Cesàro, 85, 81.)

(*) Voir la question précédente.