Soient, dans la suite des nombres impairs, Sa la somme

des a premiers termes; Sp celle des p termes suivants; Sy celle des Y termes qui suivent les a h- p premiers; déterminer a, p, y, de manière que

(De Rocquigxy, M., 34.4..) ( Van den Broeck, Cesàro, 85, 20, 228.)

»ooo<

Tirages au sort et jeux.

1. On a mis dans une urne 20 billets numérotés 1,2, . . . , 20. Sur ce nombre, il y a 5 bons billets et i5 mauvais; 20 personnes doivent puiser successivement dans l'urne et prendre un des billets. La chance de prendre un bon billet est-elle la même pour toutes ces personnes? (Fodot, N. A., 84.)

{Faure, 52, 99.)

2. On a un jeu complet de D2 cartes; on les jette successivement sur une table, en les retournant et prononçant à mesure i, 2, 3, . . ., i3 et recommençant. Quelle est la probabilité de rencontrer juste? \Jas compte pour i, le valet pour u, la dame pour 12, et le /of pour i3. (Fodot, N. A., 85.)

{Coupy, 44, 404.)

3. On a n urnes renfermant chacune les m premiers numéros. On tire un numéro de chaque urne ; quelle est la probabilité que la somme des nombres sortis 1° soit égale à un nombre donné, 2° soit comprise entre deux nombres donnés? (N. A., 4W.)

{Moreauy 72, i3i.)

k. Pierre lire quatre cartes d'un jeu de piquet; il donne les trois premières à Paul et garde la quatrième pour lui. Pierre a gagné si sa carte n'est de la couleur d'aucune des cartes de l^aul, ou si, étant de la couleur de l'une ou de plusieurs d'entre elles,

elle a une valeur supérieure. La mise de Paul étant de i^', quelle doit être celle de Pierre pour que le jeu soit équitable?

(RoucHÉ, N. A., 1597.)

5. On tire, séparément, les nombres /i et q^ au hasard, parmi les entiers compris de — /i à -h n, inclusivement.

Quelle est la probabilité que Féquation

aura ses racines réelles?

Même question, les nombres p et q étant tirés, au hasard,

parmi les entiers positifs, de i k n, inclusivement.

(Laisant, N. C, 457.) {Radie ke, 80, 212.)

6. Les N premiers nombres entiers sont renfermés dans une urne; on tire au hasard deux nombres x et y, La probabilité que la somme a? -H y soit un nombre premier avec N est

ou »(/i) I N, suivant queN est pair ou impair.

(De Rocquigny, M., 242.) {Laisant y 88, 253.)

7. A un certain jeu, le joueur A gagne un point chaque fois qu'il tire une boule blanche d'une urne qui contient 3 boules blanches et 2 boules noires; il perd tous ses points et donne un point à B, chaque fois qu'il tire une boule noire; B d'ailleurs ne fait jamais de tirage. Quelle est la probabilité pour A de faire 3 points? (Pkirce, M., 243.)

{Mansion, 89, 97.)

8. Les /i premiers nombres sont dans une urne. On en tire au hasard trois. Quelle est la probabilité que l'un des nombres extraits est égal à la somme des deux autres ou égal à leur denûsomme. (De Rocquigny, M., 637.)

{Bellens, 90, 43.)

Questions axithmétiques ou algébriques.

9. Soient «j, a^, «3, . . ., an des valeurs positives de a?i, oc^y ^3, . . ., Xny satisfaisant à l'équation, à coefficients positifs,

AiiFi4- A2ir2-4- AsiFsH-. . .4- A;ia7rt= i.

La probabilité que a,, a^, «3, ..., a^ soient respectivement supérieurs à aj, «j, ag, . . ., a,^ est exprimée par la {n — i)i«me puissance de

I — ( Al ai -h A2 a2 -H Asàs -h . . . -H A/itta),

pourvu que cette quantité soit positive; si elle est négative, la probabilité est nulle. (GesIro, N. A., 1447; N. C, 543.)

10. Ayant pris, au hasard, un chiffre d'une puissance quelconque de 5, il y a avantage à parier que c'est un 5 ou un o.

(Gesàro, n. a., 1485.)

H. Une solution en nombres entiers de l'équation

est prise au hasard, aucune des racines n'étant zéro; chercher la probabilité que le produit des valeurs de ^, y, z soit multiple

de -T> ^ étant un diviseur de l'entier n. (N. A., 1647.)

12. Deux permutations des n premiers nombres sont dites inverses l'une de l'autre lorsqu'elles présentent les mêmes éléments en ordre exactement inverse; elles sont dites symétriques l'une de l'autre lorsque la somme des éléments qui y occupent la même place est constamment égale à /i4-i. Démontrer que la probabilité pour qu'une permutation prise au hasard parmi les permutations des n premiers nombres soit telle que son in- III. — Alg. Th. des nomb. 17

verse et sa symétrique coïncident est donnée par la formule

i étant le plus grand entier impair non supérieur à /z.

(D. André, N. A., 1651.) {Audibert, 94*, i6.)

13. Étant donnés deux, nombres quelconques, il j a environ 6i

à parier contre 89, quUls sont premiers entre eux.

(Cbsàro, m., 75.) {Cesàro, 83, 224, 248; 84, i5o.)

Ik. Si a et 6 sont deux nombres entiers donnés, premiers entre eux, et n un nombre entier variable, la probabilité que le nombre des solutions entières, non négatives, de Téquation

ax -+- bjr = n est égal à E f - r ) > est représentée par

celle dont le nombre de ces solutions est E( — j-h i s'exprime par

(Cesaro, m., 196.) {Neuberg, 89, 116.)

15. Ayant pris, au hasard, quatre nombres entiers, il y a à parier 9011"* contre 1 — 901:"* (environ 12 contre i) qu'ils sont premiers entre eux. (Cesàro, M., 316.)

{Cesàro, 84, i5o.)

16. On décompose, au hasard, le nombre donné 2 a en deux parties positives œ, y. Quelle est la probabilité que la somme m}x^-\- n^y^ soit comprise entre p^a^ et q^a'^, m, n, p, q étant des nombres donnés? (M., 655.)

(Kluyçer, 91, 117.)

Questions géométriques.

17. Quelle est la probabilité que l'angle aigu formé par deux grands cercles, tracés au hasard sur une sphère, sera compris entre m degrés et n degrés? (N. A., 567.)

(£*. Martitiy 61, 3 19.)

18. La probabilité que laconique déterminée par cinq points, pris au hasard dans un plan, soit une ellipse, est infiniment petite.

(Cesaro, n. a., U86.)

19. On donne au hasard, dans un plan, quatre points, et Ton en prend un comme centre d'uiie conique passant par les trois autres. Démontrer que cette conique est, avec autant de probabilité, une ellipse ou une hyperbole. (Cesàro, N. A., 1511.)

20. On donne n tiges dont les longueurs sont représentées par /j, ^2» •••> hi •••) ^«' Chacune de ces tiges est peinte en rouge à l'une de ses extrémités, en noir à l'autre. On casse, au hasard, un morceau de chacune de ces tiges. Soient ^j, x^, . . . Xiy . . . , X;tles longueurs des bouts qui portent la marque noire; quelle est la probabilité d'avoir

S étant plus petit que /i H- ^2 -+- • • • -H ^«?

(Ed. Dewulf, n. A., 1519.)

21. Les côtés d'une ligne polygonale AB . . . KL sont déterminés, chacun, avec une approximation connue; chaque valeur étant comprise dans des limites assignées, et toutes étant également probables : les directions des côtés sont invariables. Les sommets de cette ligne brisée sont susceptibles d'occuper une infinité de positions.

Cela étant, on propose de déterminer :

1° Les limites dans lesquelles peut varier la position de l'un quelconque des sommets.

26o ALGÈBRE. — THÉORIE DES NOMBRES, ETC.

2° La probabilité relative de chacune de ces positions.

Réponse, — Chaque sommet est variable dans un polygone à centre, de 2m côtés; m étant le nombre des éléments du cheminement polygonal qui précède le sommet considéré ; et lesdits côtés étant égaux, respectivement aux variations possibles de ces éléments, et parallèles à leurs directions. Si l'on élève, en chaque point de Paire de ce polygone, une ordonnée proportionnelle à la probabilité de ce point, on obtiendra une surface que Ton peut appeler surface de probabilité, dont la connaissance répondrait à tout. Or, cette surface résulte de la combinaison, par voie d'addition ou de soustraction, des ordonnées de surfaces cylindriques à génératrices parallèles au plan du polygone, et ayant pour directrices les paraboles représentées y = Ka?'»-^, le coefficient K ayant une valeur particulière pour chaque direction. Cette surface de probabilité est discontinue; ses arêtes se projettent sur le polygone qui lui sert de base, suivant m 2^'"-*^ lignes droites, égales et parallèles par groupes de 2"*-*; les côtés du polygone de base étant d'ailleurs compris dans ces lignes. (Peaucellier, N. C, 128.)

22. On donne une droite AB, de longueur /; on prend, au hasard, un point C entre A et B, puis, au hasard, un point D entre C et B.

Quelle est la probabilité que deux des longueurs AC, CD^

DB soient plus petites qu'une longueur donnée al

(E. Lemoine, N. g., 370.) (Ce^àro, 80, 74.)

23. On casse, au hasard, en trois morceaux, une barre de longueur /. Quelle est la probabilité que deux de ces trois morceaux soient plus petits qu'une longueur donnée a?

(E. Lemoine, N. G., 371.) {Cesàro, 80, 74.)

24-. Un arbre qui croît verticalement sur le flanc d'une montagne d'une inclinaison inconnue est brisé par lèvent, mais non coupé en deux. Démontrer que la probabilité que la cime

3 2 atteigne le sol est 7 -• (Artemas Martin, M., 233.)

(Cesàro, 86, 14.)

Damiers et échiquiers; jeux de dominos.

1. Placer les huit premiers nombres sur une même ligne, de telle sorte que la différence de deux quelconques de ces nombres ne soit' pas égale à la différence de leurs rangs dans la ligne. ■Combien existe-t-il de dispositions de ce genre?

est une de ces dispositions.

Placer sur un échiquier huit reines, de manière qu'aucune d'elles ne soit en prise à l'une des sept autres? La solution est une conséquence de la précédente. (Lionnet, IN. A.., 251.)

{Bourget, 81, 473.) (M

2. En ôtant les doubles du jeu ordinaire de dominos, il reste

vingt et une pièces. On peut ranger ces vingt et une pièces sur

une seule ligne en se conformant à la règle connue du jeu. De

combien de manières cet arrangement est-il possible (*)?

(M Voir aussi une Note de Catalan, 64, 187.

(') Question combinatoire difficile que nous avons vainement proposée à plusieurs analystes distingués. Note de la Rédaction,

(') La question a été complètement résolue, d'abord par le D' Reiss, au prix d'un énorme travail et avec d'interminables calculs; et plus tard, par M. G. Tarry, par une méthode simple et d'une rare élégance. Sur ce problème, qui a une certaine célébrité, on consultera avec grand avantage les Récréations matfiématiques d'Edouard Lucas.

3. 1° Ecrire les n premiers nombres entiers 1,2, 3, . . ., n,. sur une même ligne, de telle sorte que la différence entre deux quelconques de ces nombres ne soit pas égale à celle de leursrangs sur cette ligne;

2° Combien le problème admet-il de solutions?

Sur un échiquier composé de n} cases, placer n reines, de manière qu'aucune d'elles ne soit en prise par Tune des {n — i) autres, est la même question posée en d'autres termes (*).

(LioNNKT, N. A., 963.)

k, 1° Sur l'échiquier de /i* cases, le nombre des sauts du cavalier des échecs est égal au double de (2/1 — 3)* — i;

1^ Trouver le nombre des sauts du cavalier sur un rectangle de /?^ cases? (Ed. Lucas, M., 230.)

{Neuberg, 85, 35.)

5. De combien de manières un pion du jeu de dames, placé en un coin du damier, peut-il se rendre sur le bord opposé en progressant par cases consécutives parallèlement à l'une oir à l'autre diagonale?

Suivant que le damier a 2/1 ou 2/i-hi cases de ce côté, le nombre cherché est égal à C2„-i,n— 1 ou Gj».^.

(Ed. Lucas, M., 783.)

6. Sur les centres des n- cases d'un damier, on place n jetons de telle façon que deux quelconques d'entre eux ne soient pas situés sur une même ligne parallèle à l'un ou l'autre des bords du damier. Démontrer que le nombre t^ des dispositions distinctes est égal à 1.2. ../z, et que les jetons sont toujours en nombre pair sur les cases de couleur contraire à celle du coin inférieur de gauche.

On suppose de plus que les jetons ne sont pas situés sur les cases d'une diagonale. Démontrer que, si l'on désigne par 6;^ le

(') Cet énoncé est une généralisation de la question 1 ci-dessus.

nombre des dispositions distinctes, on a

6rt-j-i = 71 ( 0,t -H 0/j-i ),

Démontrer que le rapport de ^;j à 6^ a pour limite la base du système des logarithmes népériens, lorsque n augmente indéfiniment.

En supposant de plus que les jetons ne soient pas situés sur les cases des deux diagonales, calculer le nombre T„ des dispositions et la limite de t^ à T^ lorsque n augmente indéfiniment.

Démontrer que le nombre maximum des jetons que l'on peut placer sur les cases, de telle sorte que deux jetons ne soient pas situés sur une parallèle à Tune ou Pautre des diagonales, est 2" — 2 et que le nombre des dispositions distinctes de ces 2'* — 2 jetons est 2'^ (Ed. Lucas, J. S., 62.)

7. On place n jetons sur les cases d'un échiquier carré de ' n} cases, de telle sorte qu'il n'y ait qu'un seul jeton dans chacune des colonnes ou des lignes de l'échiquier. Démontrer que, si l'on désigne par S» le nombre des solutions symétriques par rapport au centre de Téchiquier, on a

Sjra-j-i = S2» = 2.4«6. . . (2/1).

Si l'on désigne par Un, le nombre des solutions symétriques par rapport à l'une des diagonales, on a

Un = Wrt i-h(n — i)m„2; et aussi

n(n — i) nin — \)(n — 2)(/i — 3)

Un = ^-\ ^ i — ; — — ■■

n{n — i). . . (ti — ^5) 2.4.6

Traiter la même question pour les solutions symétriques par rapport aux diagonales. (Ed. Lucas, J. S., 71.)

364 ALGÈBRE. — THËORtE DES ^

8. On sait que le roi, aux échecs, ne peut se déplacer à chaque coup qu'en occupant l'une des huit cases voisines qui l'entourent; cela posé, démontrer que les nombres des trajets difFérents que le roi peut elTectuer sur un échiquier indéfini, pour se rendre d'une case donnée à une autre case donnée par

3^ Nombre de solutions qui peuvent arriver à chaque carré ( * ) .

(Fermât, N, C, 65.) (76, 55) (2).

11. Disposer, en triangle équilaléral, les neuf premiers chif-

fres, a, b, c, dy e, /, g^ h, k\ de manière que

a-Jrb-\-c-\-d = d-^-e-^- f -^ g — g -\- h-\-k'\- a^

«2 -4- ô» -f- C2 -4- t/î = ^^2 | gî ^f% + ^2 = ^ï 4. ^î i ^i + «' (^).

(Proth, n. c, 359.) (Cesàroy 78, 298, SgS; 80, 817, 4i5.)

12. Faire un carré magique avec.un jeu de dominos dont les doubles (o, o), (i, i), ..., (6, 6) sont remplacés par des simples : o, i, . . . , 6. (M., 190.)