Neuf nombres entiers consécutifs sont disposés en carré

(') Cet énoncé, très obscur, m'est communiqué par M. de Tilly, qui l'a copié exactement. J'ignore si, en effet, le problème a été proposé par Fermât. Euler, et beaucoup d'autres géomètres, se sont occupés des carrés magiques, sur lequels Frénicle a composé un traité complet.

{Note de Catalan,)

(») Ce n'est pas une solution à proprement parler, mais plutôt une simple note.

(') A rapprocher de la question 9 ci-dessus.

m — Alg. Th. des nomb. 17

fl66 ALGÈBRE. — THÉORIE DES NOMBRES , ETC.

de la manière suivante

n — 4 wH-2 n — 2 n — I n /i -f- 4 n -{-3 n — 3 n-t-i

Le centre est occupé par le nombre du milieu; les autres nombres se succèdent, d'après la loi du cavalier, dans l'ordre de grandeur croissante.

Choisir n de manière que la valeur de ce déterminant du cavalier soit un carré parfait. (De Rocquigny, M., 646.)

{Brocard, 89, 257.)

Autres questions.

\h. Soit un carré divisé par des lignes horizontales et verti cales en /i* petits carrés, ayant chacun deux unités de longueur pour côté. Prenons deux côtés adjacents du grand carré pour axes coordonnés. Les coordonnées du centre d'un petit carré sont exprimées par des nombres entiers impairs, et les coordonnées des sommets par des nombres pairs; désignons par (^, (^) le centre d'un petit carré ayant h pour abscisse horizontale et V pour ordonnée verticale; faisant passer une droite par (A, v) et (h! ^ t^'), quels sont les carrés que cette droite traversera, et quels sont les centres et les sommets des carrés situés sur cette droite? Étant données les équations de deux droites passant chacune par deux centres, quelles relations doivent exister entre les coordonnées des quatre centres; 1° pour que les deux droites soient parallèles; 2° pour qu'elles se coupent à angle droit; 3** pour que le point d'intersection soit le centre d'un cinquième carré? (N. A., 51.)

{Moret-Blanc, 94, 28*.)

15. Soient trois axes rectangulaires; on les divise, à partir de l'origine, chacun en parties égales à l'unité; par les points de division d'un axe on mène respectivement des plans parallèles

au plan des deux autres axes; ces trois systèmes de plans parallèles déterminent, par leurs intersections, tous les points dont les coordonnées sont des nombres entiers. Soit un point d'intersection ayant pour coordonnées les nombres entiers m, n, p; ce point est le sommet d'un parallélépipède. Prenons, dans l'intérieur de ce parallélépipède, trois points ayant pour coordonnées entières respectives rrii, n^ p^] m^, n^, p^] m^, n^, p^. Le plan qui passe par ces trois points partage le parallélépipède en deux portions; combien chaque portion renferme-t-elle de nombres entiers? (N. A., 266.)

16, Soient sept carrés égaux liés de telle sorte

Chaque carré peut tourner à charnière seulement autour de la droite qui lui est commune avec le carré voisin; le carré i ne pourra prendre une position quelconque qu'envers le carré 7, et pas envers les autres carrés. Ainsi, si le carré i est maintenu fixe, il n'y a que le carré 7 qui soit entièrement libre.

(MôBius, N. A., 511.)