Démontrer que l'expression

tend vers ^> quand n croît indéfiniment.

(TroÏlle, J. s., 208.) {Plamenewsky, 90, 179.)

Questions de limites. — Problèmes.

143. Aux. deux extrémités d'une droite AB on élève deux perpendiculaires AC, BD de longueurs données; puis on insère entre AC, BD un certain nombre p — i de moyennes géométriques, et on les dispose entre AC et BD parallèlement à ces deux lignes et à égale distance les unes des autres : en unissant

par des droites les extrémités m, m', m!\ . . . d ces parallèles, il en résulte un polygone PiCmm! m^ . . . DB, qui devient (à la limite pzzico) un trapèze curviligne : trouver la surface de ce trapèze. (Vannson, N. A., 459.)

{Ver nier, 59, i48.)

144. Soient p et q deux nombres donnés; pi la moyenne arithmétique, qi la moyenne géométrique; p^ la moyenne arithmétique de />!, qi] q^ leur moyenne géométrique, et ainsi de suite, de sorte que Pn+i} qn+i sont les moyennes arithmétique et géométrique de />„, ^„. On demande de déterminer la valeur de p„ et de démontrer que p^ = q^» (Gauss, N. A., 609;-)

(Colot, 62y 5y.)

145. Soit une série de paires de quantités, a,, ^i; aj, 6,; ^sy ^3 5 • • •? l^s a étant plus grandes que les b, dont la loi de la formation est la suivante

Ux = Ctx—l ~t- bx—\ ) Ox = ûfar-i y

il faut cherciier la limite du rapport — lorsque x devient infini.

(Strebor, n. a., 692.) {De Saint-Prix, 64, a6o.)

146. On prend la moyenne arithmétique pi et la moyenne harmonique qi de deux nombres donnés/) et q;

Pi= — - — , qi= ^,

On opère de même sur p^, q^; puis sur p^, qt, et ainsi de suite, de telle manière que

Trouver Texpression générale de /?„ en fonction de /> et q\

montrer qu'on a

Pi>Pi>P3>'">\/pq et qi<q2<qi<»..<)/pq.

(Ed. Lucas, N. A., 1325.) (*).

{Mathieu, 79, 629.)