Vérifier que 2a? 3a

(i--a?)2 (i a72)« (i__-|?3)2 (i__ajV)s

Quelle est la limite commune? (Catalan, M., 218.) (Cesàro, 85, 182.)

149. a^ étant un nombre inférieur à Tunité et P, Q désignant les produits indéfinis

1° Le produit P . Q = i .

2° Le produit indéfini P, dont tous les facteurs sont moindres que I, a une limite positive.

(•) M. Lucas ajoute : « Il est probable que c'est là la méthode employée par les anciens, dans l'approximation des racines carrées ».

(Note de la Rédaction.)

3^ Le produit Q, dont tous les facteurs surpassent Punité, a une limite (*). (M., 790.)

{Cesàro, 94, 194.)

150. Trouver, sans appliquer la règle de UHospital, la vraie valeur de l'expression

a?" — nx^-^ — (/i — i)a7'*-'.. . — ix — i

pour a? =: I. (De Longchamps, J. S., 7.) {Grijffon, 83, 9.)

*151. Trouver, pour ai = 00, la limite de

n Ln

(De Longchamps, J. S., 388.)

Nombres de Bemoulli et d'Euler, et nombres analogues.

/(0-/(3)-H/(5)-...±/(2Ai-i) = ±i/(£-t-2/i) + const.,

/(2)— /{4)-H/(6)--...±/(2n) = ± i/(e-i-27i-hi)-Hconst.,

pourvu que Ton remplace les puissances de s par les nombres d'Euler correspondants, définis par la relation symbolique

(GesIro, N. a., 1444..)

(') Avec la Théorie des fonctions elliptiques, ces propositions sont évidentes (et connues).

Peut-on les démontrer par les Éléments d'Arithmétique ou d'Algèbre?

{Note de la Rédaction.)

153. Les nombres de Bernoulli et d'Euler, définis symboliquement par les relations

(B4-i)P— Bp = o, (eH-i)p H(e^i)P = o, satisfont aux relations symboliques

(aB-f- j)P = (2 — 7.P)BPy

(4B -i- i)P = (i — 2P)Bp — pzp^i,

(4B H- 3)P = (2 — 2P)Bp H- jDSp i.

(GesIro, N. a., 1446.)

*154. Exprimer Sg/n-i en fonction linéaire des carrés de Sj, Sj, . . ., S„. (Ed. Lucas, N. C, 194.)

*155. Exprimer le produit S^S^^S^ en fonction linéaire des sommes S. (Ed. Lucas, N. C, 195.)

*156. Trouver la somme des inverses des nombres de BernouUi, et la somme des inverses des nombres P.

( Ed. Lucas, N. C, 196.)

157. Démontrer la relation suivante entre les nombres de Bernoulli :

(ip — 5) (2/? — 3)(2/? — l)(2p — l) ^ L Bl I