On a
(S-f-B)P— Bp
nSP-^—SP.
à condition de remplacer S^ par i ^"^ + 2* h- 3* -f- . . . -f- /i^ et de
DÉRIVÉES. — SÉRIES. — LIMITES. 5l
substituer aux puissances de B les nombres de Bernoulli correspondants, définis par la relation symbolique
(Cesaro, N. C, 579.) 163. Si, dans les relations
(2B-+-l)P =(i — 2P)Bp, (4B+i)P -i-(4B-4-3)/' =2.(2B-+-i)P, (4 B -+- i)2p -+-(4 B -+- 3)2P = (2 B -h i)2p,
on substitue, aux puissances de B, les nombres de Bernoulli correspondants, symboliquement définis, par la relation
(B-f-i)p— Bp=o,
on obtient des identités. (Cesàro, N. C, 592.)
164.. On considère les nombres définis symboliquement par les égalités
(£-M)P-i-(e--i)P = o, (B-hi)/' — Bp = o.
Démontrer les relations symboliques
Ep = (4B + a)p + J-Gp,j(4B -t- 2)P-« -+-iCp,^(4B + 2)P-*-f-..., 2/>ep i = (4B + 3)P — (4B-M)p, — jo£p i = (4BH- i)P-H(2P — a)Bp(i).
(Cesàro, N. C, 593.)
165. B^ désignant le /i'«™® nombre de Bernoulli, démontrer les relations suivantes
Gj/i,jBiB„i-4- Gjrt,4B2Brt-2-^- • '-r- G2/i,2/tB,i iBi = (in-^ OB^,
G2/n-2,2Bi — C%n+%,k B2 -4-. . .± G2n-+-2,2rtB« = /l, G2/i-t-l,l B G2/i4-l,5 B2 -f- . . . ifc: G2/H-l,2»-l B,t = 4'
C) Les relations entre les nombres de Bernoulli et les nombres d'Euler sont fort nombreuses : dans divers Mémoires, j'en ai donné quelques-unes. Celles que propose M. Cesàro sont-elles nouvelles?
{Note de Catalan.)
Remarque. — En retV^anchant la dernière de Tavant-dernière, on obtient la relation de Moivre {Cours d' Analyse de V Université de Liège). (CesIro, N. G., 603.)
Théorèmes généraux.
Propriétés de polynômes algébriques.
166. Soit V = o une équation du degré m à une seule inconnue X, dont les racines a, by c, d, e, . . . , h sont inégales; et Vi la dérivée de V. Supposons qu'on opère comme s'il s'agissait de trouver le plus grand commun diviseur entre V et Vi, en ayant soin de changer les signes des restes, lorsqu'ils serviront de diviseur, et désignons par V,, Yj, V4, ..., V,„ ces restes changés de signe.
Les polynômes Vi, Vj, Vs, . . ., Y,„ s'exprimeront en fonction des racines de V =0, d'après la règle que nous allons indiquer.
La dérivée Yi est, comme on sait, la somme des produits {m — i) à {m — i) des facteurs {x — a), {x — 6), {x — c), ..., {x — h)'y c'est ce que nous écrirons ainsi
Vi = 2(37 — ^)(a7 — c)...(rp — A).
Pour obtenir l'expression de Y2, on multipliera chacun des produits m — 2 à m — 2 des facteurs
par le carré de la différence des deux racines qui n'entrent pas dans le produit considéré; la somme de ces derniers produits, multipliée elle-même par un facteur positif indépendant de x, donnera Y2; c'est-à-dire que
Vî = a2(a — by{x — c){x — d) , , ,(x — h)\ a > o.
On a de même
V3= ?I.(a — by{a — cy(b — c)^(x — d) , . , {X — h); P>o,
C'est ce que Ton propose de démontrer.
(Sylvester, N. a., 22.) (Moret-Blanc, 94, 27*.)
167. Une équation algébrique ayant toutes ses racines réelles,
trouver le nombre précis de racines comprises entre deux limites
données, par le moyen du théorème de Descartes.
(Jacobi, N, a., 174..) {Moret-Blanc, 94, 4^^**)
168. Soit une équation algébrique à coefficients entiers et le premier terme ayant pour coefficient Tunité; si les modules de toutes les racines sont égaux à l'unité, toutes les racines de l'équation sont des racines de Tunité.
(Kronecker, N. a., 373.)
169. Etant donnée une équation algébrique n'ayant pas de racines égales, si l'on applique à cette équation le procédé de Sturm, et si l'une des équations ainsi obtenues a des racines égales, l'équation donnée a nécessairement des racines imaginaires. (Rouget, N. A., 553.)
