Soit la fonction y

(Brocard, N. C, 402.) X — a

1° Démontrer qu'en désignant par y'y" ^'-y^n) ^^s dérivées successives de y, on a entre trois dérivées consécutives la relation

(a7«-+- i)jK(») H- '^nxy^n-D -hn(n — t)y{n-i) = o.

2^ Démontrer que, si l'on pose

yn = ( — l)'*I.2.3. . . /l ^^ -y

V„,i est un polynôme en x du degré (/i 4- i), dont le premier terme est ^'*'^*, et que, entre trois polynômes consécutifs, on a la relation V„— 2^V„-iH-(n- ^2)V„2=o.

3<* En posant V = i, le théorème de Sturm s'ap{)lique à la suite des polynômes V„, V^^-j, et les racines de l'équation V„ = o séparent celles de Téquation V„i = o.

4** Les coefficients de V sont des fonctions linéaires de la constante a, et, en posant V;j=:P„ — ciQny ^^ a/ si a7i=:colcp,

coln(f=j^' Conclure de là des expressions trigonométriques

des racines de l'équation Y„=z:o.

Remarque, — On pourra établir cette relation en posant

cosTicp sin/icp

Un = — : ^ — a —.

sin'*«p sin'^cp

et prouvant que Un est un polynôme entier en x de degré n où Ton fait œ = cotcp, et que trois polynômes consécutifs sont liés par la relation

Un— 2a7a,t l-4-(l ->r X^)Un-% = O.

5° On propose d'établir que les polynômes ¥„ satisfont aux deux équations suivantes

, (J. M., 220.) {Leroux, 80, 828.)