Les équations de la forme

ir3-(iP-t-2P)iF2-H(2ap-hP«-+-3Y^)a7 — a(p2-h3Y2) = o,

où a, p, Y sont des nombres entiers ou des fractions, sont les seules équations du troisième degré ayant une racine, entière ou fractionnaire, qu'on puisse trouver par la règle de Tarlaglia (ou de Cardan), en n'opérant que sur des grandeurs commensurables. (Kummer, M., 52.)

(Fauquembergue, 85, 204.)

6o ALGÈBRE. — THÉORIE DES NOMBRES, ETC.

191. Trouver la relation qui doit exister entre les coefficients/?, q, r de Téquation du troisième degré

x^ — px^ -^ qx — r = o

pour que les racines soient les sinus des angles d'un triangle.

(J. M.,296.) (Quiquet, 81, 237.)

192. Soient a, 6, c, d quatre coefficients consécutifs d'une équation algébrique réelle. Si Téquation

ax^ -^^bx^-h3cx -^ d =

n'a pas ses trois racines réelles et distinctes, l'équation proposée a au moins deux racines imaginaires. (Walecki, J. S., 53.)

(Ferval, 85, 47.)

193. Trouver toutes les équations du troisième degré telles que, si a:^ est une de leurs racines, convenablement choisie, les deux autres soient

^^^^ et

(Ferçal, 86, 286.)

Xi iH- a?!

(Weill, j. s., 129.)

Équations du quatrième degré. — Résolutions et problèmes.

194. On trouve dans V Analyse des infiniment petits j du marquis de UHospitaly la question suivante : a Un voyageur partant du lieu G pour aller au lieu F, doit traverser deux campagnes séparées par la ligne droite AEB; on suppose qu'il parcourt dans la campagne du côté G l'espace a, dans le temps c, et dans l'autre du côté de F, l'espace ô, dans le même temps c. On demande par quel point E de la droite AEB il doit passer, afin qu'il emploie le moins de temps qu'il est possible pour parvenir de G en F. » L'auteur, prenant pour inconnue la distance du point E au pied de la perpendiculaire menée du point G sur

ÉQUATIONS. 6l

la droite AB, a seulement donné Téquation du problème, qui

est du quatrième degré.. On propose de déterminer le nombre

des solutions et de discuter complètement le problème.

(N. A., 79.) (De VirieUy 62, ao6.)

*195. Trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour que les quatre racines d'une équation du quatrième degré forment un quadrilatère inscriptible. Trouver la surface et le rayon de ce quadrilatère? (Darboux, N. A., 852.)