En ordonnant le discriminant A de Téquation

ax^-h /ibx^-\-6cx^-{- 4 dx -h e = Oy

suivant les puissances de e, posons

A = Ae3-+- 3Be2 + 3Ge -l- D.

Démontrer que Ton a

A2 D2 — 6 ABGD -+- 4 AG^ h- 4B2 D — 3 B^ G^ = — yig{a^d-h ib^ — ^abcY

X{a^d^ — ^abcd'^4ac^-^ ib^d^db^c^y.

(M. RoBERTS, N. A., 606.)

(i) a?* — (k — b -h c)x^-\-{b — 2c)ax — ck = 0,

dans laquelle a, b, c, k sont des entiers plus grands que zéro et satisfaisant aux équations

ou bien aux conditions

ne peut avoir trois racines entières. Si deux racines sont imaginaires, l'une au moins des racines réelles est incommensurable. La même proposition subsiste à l'égard de l'équation

(2) x'-* — {k — b — c)x^-\-(b -\-%c)ax -^ ck = 0,

dans laquelle les entiers a, b, c, k, tous plus grands que zéro, satisfont à l'un quelconque des quatre systèmes de conditions qui suivent, savoir :

Dans chacun de ces cas, disons-nous, l'équation (2) a assurément deux racines réelles, dont l'une au moins est incommensurable. (Realis, N. a., 1354.)

{Pecquery, 81, 376.)

a7*-f-i2aP(a-i- 3)a7-f- 2ap(4a2 — gaj^ h- 4^2) ^^ o,

dans laquelle a et p sont des entiers différents de zéro, n'a pas de racine entière. (Realis, N. A., 1378.)

{Realis y 82, 4^6.)

212. Les longueurs des droites qui joignent les milieux des côtés opposés d'un quadrilatère sont racines de l'équation

A représente l'aire du quadrilatère, s la demi-somme des diagonales, <J leur demi-différence.