Soit l'équation

(x — ax)(x — aO(x — ai){x — a^(x — ag) . ..(x — a^n)

H- b^(x — a{)(x — az){ X — a^)(x — a^) .. .(x— a4„i) = o;

les indices augmentent successivement d'une unité et de trois unités; les différences a^ — a^y a^ — cia .., ct^n-i — ^kn sont positives ; b est un nombre positif; m est un nombre entier positif; les 2 n racines sont réelles et comprises entre a^ et a^, «3 et «4, . . ., av«-i et a^n- (Richelot, N. A., 243.)

-h EccP-^ -i- YûffP-^ -+- GarP-5 ^. . . . u = o

a toutes ses racines réelles, les coefficients D, E, F, G de quatre termes consécutifs vérifient l'inégalité

(i) (DG — EF)2 — 4(E2 DF)(F2— EG)<o.

Corollaire I. — Quand la relation (i) n*est pas vérifiée, Téquation a des racines imaginaires.

Corollaire II, — Si, entre les coefficients E, F, G qui suivent immédiatement un coefficient nul, on a la relation

4EG — 3F2=o,

l'équation a des racines imaginaires.

Corollaire III, — Il en est de même si l'on a

4DF— 3E2=o,

D, E, F étant trois coefficients qui précèdent immédiatement un coefficient nul.

Corollaire IV. — Si E=:o et que D, F, G satisfassent à la

condition

D(DG2-h4F3)=o,

l'équation a des racines imaginaires.

Corollaire V. — 11 en est de même si

F=o, G(D2Gh-4E3) = o.

(Catalan, N. A., 657.) {Courtin et Godard, 64, 87, i36.)