Si l'on pose

I** Les équations

auront toutes leurs racines réelles et inégales;

2° Les racines de réquation/,„(.r)i=o sépareront les racines de l'équation /,^^l(^) = o. (H. Laurent, N. A., 869.)

(Pellet, 70, 420.)

252. En désignant par X„ le polynôme de Legendre, on propose de démontrer que l'équation de degré 2/1, savoir

a toutes ses racines réelles, inégales et comprises entre — i et + 1. (Hermite, N. a., 890.)

{Pellet, 70, 329.)

253. Démontrer qu'en développant, suivant les puissances ascendantes de X, la quantité

IH X -\ i -X

1 é .1 i.'ji.iJ 1.2.3.4 ' e^^{\-\-x)->t-e-'^{\ — x)

X X2 X3 À* eMi'\-x) — e-M\ — x)'

le coefficient de X'*^ est un polynôme L^^ du n'ème degré en x^ contenant le facteur x^ — i, et que Téquation

a toutes ses racines réelles, inégales et comprises entre — c et -f- 1. (Hermite, N. A., 925.)

{^CallandreaUj 72, 460.)