Démontrer que l'équation

, in — l){n — / — 1) „ , ^ 2(2/1 — 1) (/i— /)(/i— / — i)(/i— / — 2)(ai — / — 3) , 2.4(2/1 l)(2/l — 3)

a toutes ses racines réelles, inégales et comprises entre — a et -\-a. (EscARY, N. A., 1365.)

255. L'équation /(^) = o a toutes ses racines réelles ; soient a et 6 deux racines consécutives de cette équation.

La dérivéey(.r) s'annule pour une valeur co comprise entre a et 6; démontrer que w est comprise entre

^ '— et ^

n désignant le degré de l'équation. (Laguerre, N. A., 1388.) ( Cesàro, 85, 3a8.)

256. Si l'équation de degré /i, J\x)z=o n'admet que des racines réelles et simples ;

1° L'équation /2(^) -1- /c^/'*(^) = 0, où k est réel, a toutes ses racines imaginaires;

2° Dans chacune de ces racines, la valeur absolue du coefficient de i ne surpasse pas la valeur absolue de kn,

(Laguerre, n. a., 1389.) {Cesàro, 85, 32i.) (M-

*257. Considérons l'équation f{x) = o qui a toutes ses racines réelles; k désignant un nombre arbitraire, supposons que l'équation y(^)-}-Â: = o ait m racines imaginaires : démontrer que l'équation

a m racines réelles, toutes les autres étant imaginaires.

(Laguerre, n. a., 1390.) *258. Si l'équation

a-T- bx -h cx^ -r-, . .-+- kx"^ = o

a toutes ses racines réelles, démontrer que, co élant une quantité

(^) L'énoncé primilif a été légèrement modifié par M. Cesàro; c'est cette modification que nous reproduisons.

8o ALGÈBRE. — THÉORIE DES NOMBRES, ETC.

réelle quelconque plus petite que l'unité, l'équation

a également ses racines réelles. (Laguerrë, N. A., 1392.) *259. Soit le polynôme

supposons qu'en ajoutant à ce polynôme un certain nombre de termes de degrés supérieurs à /i, on puisse obtenir un autre polynôme /(^), tel que l'équation y(^)z=o ait toutes ses racines réelles : démontrer que l'équation

an ci\x a^x^

a toutes ses racines réelles. (Laguerrë, N. A., 1393.)

260. Former les dérivées successives de la fonction / = é?^ .

a. Etablir que la dérivée d'ordre n est égale au produit de la fonction elle-même par un polynôme entier en œ, P^, du degré n ;

b. Démontrer que, entre les divers polynômes P, existent les relations suivantes

P;, = naFn-u

P«-i — axFn— naPn-i ~ o, P';^-{-axP'„—naP =o.

c. Démontrer que, si a est négatif, l'équation P„ = o a toutes ses racines réelles;

d. Former le polynôme P;^, en se servant de la troisième relation. (J. M. 307.)

(Gi7/7, 81, 473.)