On suppose que l'équation U=:oa toutes ses racines

ÉQUATIONS. 8l

réelles; démontrer que les équations

f^^ Uh-(j7 — a)U' = o,

ont aussi, quel que soit a, toutes leurs racines réelles {a est réel, bien entendu, et U', U^', l}'" sont les dérivées successives de U). Donner l'expression générale dey„=:o, et montrer que, en posant /^ — aj U -h a* U' 4- a,^ U + . . . , on a

et ainsi de suite. (De Longchamps, J. S., ^k») {LevavasseuFy 83, i36.)

*262. L'équation

ao -H «1 a? -f- aj 072 -i- . . . -I- a„ a?'* = o

ayant toutes ses racines réelles et de même signe, démontrer que l'équation

aocoscp 4- ai cos(cp -h Oa?)

a2C0s(cp -h 26)572 -i-. . .-f- a;icos(o 4-/16)0?'' =0

a toutes ses racines réelles, quels que soient les angles cp et 6. «

(Làguerre, J. s., 95.) *263. Si l'équation

a 4- bx-\- co7*-h. . .4- kx^^= o

a toutes ses racines réelles, il en est de même de l'équation

2a 4- ô(p 4- p-i)a7 4- «(p^'â -f- p-v^)ip2

p désigne une quantité arbitraire. (Làguerre, J. S., 123.) . ni. — Alg. Th. des nomb. 6