I-hYX-h -^-^ x^-\-..,-^ ^^ ^-^ ^a7»=o

ne peut avoir deux racines réelles, quand ^ est >>o, et <c — n.

(Sylvester, N. A., 776.).

{Graindorge, 66, 520.)

86 ALGÈBRE. — TOËOniB DES NOHBHES, ETC.

275, L'équation

ne peut avoir plus de deux racines réelles ( ' ).

(SîLVEsrER, M., 676.)

*276. En multipliant {x^ — i)" par la série la partie entière du produit sera le polynôme

à l'égard duquel on propose de démontrer :

1° Que l'équation F(a;) =o a toutes ses racines imaginaires, sauf la racine x^o, quand le nombre n est pair;

2° Qu'en supposant n impair, elle n'admet, outre la racine nulle, que deux racines réelles égales et de signes contraires, dont la valeur absolue, supérieure à l'unité, est moindre que \/â et converge vers cette limite lorsque le nombre n augmente. (Hermite, n. a., 936.) (Callandreau, M, i^'.)

"ÏTl. S,„ désignant In somme des puissances m'''"" des racines de l'équation

Aia'" + Aj^"-' -.- . . .-I- A„,3^"-"'+' + . . . + A„3; + A„+, = o, où l'on a fait, pour abréger,

(') L'énoncé n'est pas exact. Voir une Note : C.-A. Lâisant, M, 98. Nous le conservons néanmoins parce que la question peut provoquer encore des recherches intéressantes. A rapprocher des deux questions qui précÈdent.

on a, depuis m := i jusqu'à m^m inclusivement,

On déduit de là que, a et 6 étant réels, l'équation considérée ne peut avoir deux racines réelles. (Reàlis, N. A., 999.)

278. S;» désignant la somme des puissances m'*"*" des racines de l'équation

a{a -i-i)(«H-2)(«-^-3).,.Ca-T-/i — i)

on a

o/i = S/t i = S/i 2 = ...-= 85= Si= — a,

On déduit de là que, a étant positif, l'équation considérée ne peut avoir deux, racines réelles ; ce qui s'accorde avec l'énoncé de la question 776 (n° 274- ci-dessus).

Note. — Pour l'équation

/>»/i — 1 x^ — ^ 97" — ^ ce I

on a évidemment

et l'on reconnaît de même que l'équation ne peut avoir deux racines réelles; ce qui s'accorde avec la question 775 (*).

(Realis, N. a., 1000.)

/p/M-i .r"»-2 ip/«-3 x"^-P I

Ka7"»H 1 \ ^ i h... H =0

(•) Énoncé n" 273 ci-dessus.

a une seule racine réelle pour m impair. Si m est pair, elle a

deux racines réelles au plus.

Trouver la condition pour que ces deux racines existent (*).

(H. Laurent, J. M., 211.) {Coignard, 80, i88.)

aPx^-\- bPx^-^-h. . .-+- //^ = G,

dans laquelle p désigne un nombre entier, a, b, . . . , / étant les termes consécutifs d'une progression arithmétique, a au plus/? -h I racines réelles. (Delens, J. S., 363.)

Équations ayant des racines imaginaires.

CoiF'^H CiX"^-^-\ CiX^-^-\-, . .-4- riiCn-iX -h C„ =

Si au moins autant de racines imaginaires qu'on trouve de variations de signes dans la suite

(Newton.)

Nota. — La démonstration d'Euler {Introduction au Calcul infinitésimal) n'est pas satisfaisante. (Genocchi, N. A., 4-34.)