Si une équation /(^) = est ordonnée et de la forme

/(ce) = cp(a7) -f- axP — ^xP-^ -+- -^xP-^-h ^K^) = o,

<p et tj^ n'ayant que des permanences et a, p, y étant des nombres positifs tels que p* =z ay, l'équation n'a pas de racines réelles positives.

2® Si quatre coefficients consécutifs d'une équation sont b -h Cj b, c, b — c, de sorte que

f(x) = .,.{b-h- c)a7P-^-l^- bxP ^- cxp-^ -h (6 — c)xp-'^-\-. . . = o,

l'équation a des racines imaginaires.

3° Si quatre coefficients consécutifs sont a, 6, a, b, de telle sorte que

f{x) = . .. axP-^^ -\~ bxP -^ axP-^ -+- bxP-^ -f- . . . = o,

l'équation a au moins deux racines imaginaires. On propose de génécaliser cette proposition et de faire voir que, si trois coefficients consécutifs a, b, c se reproduisent trois fois périodiquement, de telle sorte que l'on trouve dans l'équation «, 6, c; a, by C'y a, b, c comme étant 9 coefficients consécutifs, l'équation a, au moins, quatre racines imaginaires, et ainsi de suite.

En supposant que les coefficients ai, a^, ..., «p se reproduisent p fois périodiquement, dire combien l'équation a au moins de racines imaginaires. On distinguera les cas de p pair et de/? impair. (De Longchamps, N. A., 1367.)

{Moret'Blanc, 82, 368.)