I. Si réquation

f^ L . m(tn — I ) , „ , . , .

(i) xf" Ai^'«-i H ^ — ^ A2^'"-2 — . . .±/?i A,„ia7± .\;rt = o

a toutes ses racines positives, Aj, Aj, . . ., ^m-\^ ^m vérifient les inégalités

yi) i\j^i\2, /Vj^i^g, /\3p»/\^, ..., ^m—\^^m 1 ••••

Corollaire. — Si quelqu'une des inégalités (2) n'est pas vérifiée, l'équation (i) a des racines imaginaires (*).

II. L'équation (i) a, au moins, autant de racines imaginaires qu'il y a de variations de signes dans la suite des m quantités.

(Realis, N. g., 147.)

295. a et 6 étant deux quantités réelles, on considère la fonction

on demande combien l'équation obtenue en égalant à zéro la dérivée m'«™® de j a de racines réelles. (J. M., 308.)

(Tranié, 81, 384.)

Xxf^-h wBa?"*-»-}- Aa7'»-2

+ -- ^ ~ Bx^^-3 -^fm-k{x) = O,

(') Le théorème I a une grande analogie avec l'un de ceux que nous avons publiés, autrefois, dans les Comptes rendus, puis dans le Cours d'analyse de l'Université de Liège; cependant il n'y a pas identité. En effet, d'après ce dernier théorème, si toutes les racines de l'équation (i) sont positives, on a

( O ) A, ]>■ A.^, Aj j> A^,, A3 p» Am) • • • j ^m—\^ A,,, , ....

Or, comme il est facile de le prouver, les inégalités (3) résultent des inégalités (i); mais la réciproque n'est pas vraie. {Note de Catalan.)

"^^■•i-^ iV >, ,.

^^^^^tZl. p. ,SEM-y - -"^^ -* ir^v %-4:-

Note du Rédacteur. — La fonction homogène à deux variables de degré n peut évidemment s'écrire sous la forme

H — azx^y^ -h ... -4- nan-\ xy^-^ -h a«^« = F.

C'est cette forme que M. Gayley représente d'une manière si expressive et si mnémonique par

(«0, «i, «2, «3, ..., ««)(^, j)"- Si l'on fait

on a une expression à une variable; le révérend M. Roberts a remplacé «o, aj, a^, ... par a, b, c, d,

Covariants et invariants, — Si dans la fonction F on remplace X par \x -\- ixy et y par Vx -\- \k'y^ il est clair que la fonction garde encore la forme

(«i, a\, a;,, ..., a;,){x,yy^,

où les a' sont des fonctions des a et des quatre constantes X, [x,

X', H-'- Soient

o{«o, «Il «2, • • • î ««j ^.» y)

une fonction quelconque des a et de ^, y, et

cp( «Q, rt J , (1.2 f . • • î <3[/j j ^■) y )

la fonction analogue en a' et j?, }^; mais les «' étant des fonctions des a, il s'ensuit que cette dernière fonction est aussi une fonction des a.

Si la fonction cp est prise de telle manière que l'on ait l'identité

cp(ao,«i, «2, • " 1 cm, oc, y) = (\\}.' —V \l)p ^{a'^^ a\,a\, o,'n,^,y\

où p est un nombre entier positif, alors la fonction cp est dite covaviant de F.

Si Ton avait simplement la fonction

<p(ao, «i, «î, . . ., a„) sans J7 et sans y et qu^on eût Tidentité

alors cp serait un invariant de la fonction F. Exemple, — Soient

X = i, X, = o, txi = i;

on trouve

aj = ûTî -+- a û^i fx -h ao fx',

aj = «3 -H 3 aj [jt -h 3 ûfi [ji* H- ao |x'.

Prenons

cp = (aj — août2)^^-t-(^i«2— aQaz)xy -^{a\ — aiaa)^';

désignons par 4> la fonction analogue en a'; si Ton y remplace ensuite les a' par leurs valeurs en a, on trouve

p =o et (p = ^.

Cette fonction cp jouit donc de la propriété qui la rend un

covariant de F.

Soient

alors

F = UqX^ -h 2aixy -^ ct^y^ î

a'o = aaX2 -i- 2 ai XX' H- «jX'*,

aj = aoXfJi-i- ai(Xfji'-i- X'(jn- a2X'fji'),

a j = «0 [1* -H 2 ai |X{jl' h- aj (Jt'*.

Prenons sans X, y\ alors

cp = af — aoaj,

et remplaçant les a' par leurs valeurs en a, on trouve

et cp est un invariant de F; si

alors •

<ï> = cp

{voir la Note de M. Gombescure, p. 198, de la Théorie des déterminants). (N. A., 412.)

(Blerzjr, 59, 420; 61, 120.) *299. Soient ^j, ^2, ^3, . . . , ^;j les racines d'une équation

que nous écrivons sous la forme maintenant bien connue

posons

où/' est la dérivée de/; démontrer que la forme

(Ao, A,, A2, ..., A2«-4)(iF,7)2«-* est un covariant de la forme

(ao, «1, «2, ..., an){x,yyK

(M. RoBERTs, N. A., 525.)

300. On sait que toutes les valeurs de X sont réelles lorsque Pune au moins des formes / ou cp est la somme de trois carrés, de même signe. On demande, dans ce cas, de séparer les trois racines de l'équation en X. (Ahigues, J. S., 299.)

30t. / et cp étant deux formes quadratiques ternaires et à coefficients réels, si Ton égale à zéro le discriminant de la forme