Si l'on fait x -\ = z, la réduite de

•est

{Durfee, 89, 196.)

(Catalan, M., 508.)

Équations algébriques; autres questions.

312. Etant donnée une équation algébrique, d'un degré quelconque, à coefficients réels, chaque racine peut être considérée comme la tangente d'un arc réel ou imaginaire, l'unité étant prise pour rayon.

On propose : 1° de démontrer que la somme de ces arcs est

réelle; 2** de trouver cette somme à l'aide des tables.

(N. A.,5.) {Terquerriy 42, 145.)

'313. Lorsque le coefficient du premier terme d'une équation -est limité, et le coefficient du second terme un nombre négatif quelconque, on sait que, pour obtenir une limite supérieure des racines positives de l'équation, il suffit d'ajouter l'unité à la plus grande des valeurs absolues des coefficients négatifs de cette «quation; c'est la règle indiquée par Maclaurin. Mais, dans un grand nombre de cas, on aura, en fonction des coefficients, l'expression d'une limite supérieure plus approchée au moyen de la règle suivante, énoncée par Lagrange,

Soient — kx^-Py — Ba?'"-'*, — C^'"-*, ... les termes négatifs de l'équation proposée, dont le degré est m; on aura une limite supérieure des racines positives en additionnant les deux plus grandes des quantités

C'est ce que l'on propose de démontrer.

Supposons, par exemple, que Téquation proposée soit

La règle de Maclaurin donne pour limite supérieure looi, et celle de Lagrange donne ii. Ce dernier nombre est la pluspetite limite supérieure, entière. (N. A., 6.)

{Pury, 42, 243.)

Sl/i-. Soient F(^) une fonction entière en x] a, b deux

nombres z?o«w4 et 6 > a; si r^,] , [ >o et ,^, , , — - < o, il

^ aura au moins deux racines de F'(.r) comprises entre a et b^

(Prouhet, N. A., 89.) {Jullieriy 51, i44-)

315. Trouver la n}^^^ dérivée de x"'{x — i)'V=:o, et démontrer que cette dérivée a n racines comprises entre o et i.

(Gauss, n. a., 191.) (Emery, 49, 45.)

316. Trouver le coefficient de ^"""* dans l'équation en x de degré /i H- i, qui a pour racines les /i -t- 1 coefficients binomiaux de (a -h 6)'*. (N. A., 290.)

(Faure, Sacchi, 55, 198; 57, 869.)

317. Soit une équation algébrique (^{x)=zg; tous les coefficients sont supposés entiers positifs, q est entier positif; t étant un nombre entier positif, si Ton a

faisant

cp(*-hl) — (p(0'

t-h h sera une valeur approchée de x comprise entre ^ et ^ + i ; discuter cette méthode d'approximation donnée par Cardan.

(N. A.,325.) {Brocard, 76, 828; N. C, 76, 176.)

ÉQUATIONS. Io3

318. f{x)z=o est une équation algébrique à coefficients entiers; si/(o) et/(i) sont des nombres impairs, l'équation n'a aucune racine entière, (Gauss, N. A., 34.5.)

(De Rochas, 57, 9,10, 71.)