Trouver la somme des puissances semblables des racines

de l'équation trinôme

x^"^ -h p cc"^ -i- q = o

lorsque Texposant t est un multiple de n,

(Pellet, n. a., 1278.) {Fauquembergue, 79, 876.)

*324'. f{oc) désignant un polynôme à coefficients réels, on peut toujours déterminer un nombre positif o), tel que le développement de e^^f(x), suivant les puissances croissantes de œ, présente précisément autant de variations que l'équation y(^) = o a de racines positives. (Làguerre, N. A., 1394-.)

325. Soit une équation algébrique de degré m ayant pour racines des quantités réelles ou imaginaires représentées par des points Aj, A2, . . ., A^. Pour qu'un point P soit racine de l'équation dérivée, il faut et il suffit que les points Aj, Ag, ...,A'^, inverses des points racines par rapport au point P, admettent ce dernier comme centre des moyennes distances.

(On sait que l'inverse Aj d'un point 'Ai par rapport à P est un point situé sur la droite PAj à une distance PAj, inverse dePA,.)

iV. B, — Le théorème peut être déduit d'une remarque généralement attribuée à Ghasles sur l^s positions d'équilibre d'un point attiré par des centres fixes en raison inverse de la distance, question qui a été étudiée en détail par M. Félix Lucas ( Comptes rendus, 2® semestre 1868). On en conclut l'importante conséquence suivante due également à M. Félix Lucas {Comptes rendus, 1^^ semestre 1888) :

Les racines de la dérivée sont situées à l'intérieur de tout

polygone convexe entourant les racines de la proposée.

(Appell, n. a., 1627.) (Audibert, 92, a6*.)