COROLLAIRE V

29. Toute quantité dont le rapport as^ec une autre quantité peut être supposé aussi petit que Von veut peut être négligée comme absolument nulle en compa^ raison de cette dernière, sans que les erreurs auxquelles cela peut donner lieu dans le cours du calcul puissent en affecter les résultats, du moment que toutes les quantités arbitraires en sont éliminées.

Ce corollaire n'est qu'une extension du précédent. Dans le corollaire IV, il était supposé que les quantités en comparaison desquelles on peut négliger les autres ne peuvent elles-mêmes être supposées aussi petites qu'on le veut; mais, dans le corollaire V, on suppose que les unes aussi bien que les autres puissent être rendues aussi petites qu'on le veut, mais que le rapport des unes aux autres est susceptible aussi d'être supposé aussi petit qu'on veut ; dès lors, de quelque nature que soient les unes et les autres de ces quantités, je dis qu'on peut négliger vis-à-vis des autres celles dont le rapport à ces dernières peut être supposé aussi petit qu'on le veut ; et la démonstration est la même que, pour le corollaire IV, car il est évident que, s'il naissait quelques erreurs de ces suppressions, on serait toujours maître de les atténuer autant qu'on le voudrait, soit dans le cours du calcul, soit dans son résultat; mais cela ne peut avoir lieu quant à celui-ci, puisque alors il faudrait qu'il y entrât quelque

chose d'arbilraîre, ce qui est contre Thypothèse, attendu que toutes les quantités arbitraires sont supposées être éliminées.

30. Les propositions précédentes renferment toute la théorie de l'Analyse infinitésimale, car ce sont précisément ces quantités qui, d'après les hypothèses sur lesquelles le calcul est établi, peuvent être rendues aussi petites qu'on le veut, tandis que les autres quantités du système général que nous avons nommées infiniment petites, et qui peuvent par conséquent être négligées dans le cours du calcul, comme on l'a vu ci-dessus, sans que le résultat puisse en être affecté, ne le peuvent pas.

Leibnitz, qui le premier donna les règles du Calcul infinitésimal, rétablit sur ce principe : qu'on peut prendre à volonté l'une pour l'autre deux grandeurs finies qui ne diffèrent entre elles que d'une quantité infiniment petite. Ce principe avait l'avantage d'une extrême simplicité et d'une application très facile. Il fut adopté comme une espèce d'axiome, et l'on se contenta de regarder ces quantités infiniment petites comme des quantités moindres que toutes celles qui peuvent être appréciées ou saisies par l'imagination. Bientôt ce principe opéra des prodiges entre les mains de Leibnitz lui-même, des frères BernouUi, de L'Hôpital, etc. Cependant il ne fut point à l'abri des objections ; on reprocha à Leibnitz : 1 ^ d'employer l'expression de quantités infiniment petites sans l'avoir préalablement définie ; 2® de laisser douter, en quelque sorte, s'il regardait son calcul comme absolument rigoureux ou comme une simple méthode d'approximation.

L'illustre auteur et les hommes célèbres qui avaient adopté son idée se contentèrent de faire voir, par la solution des problèmes les plus difficiles, la fécondité

PRINCIPES GÉNËRAV.^. 33

du principe, l'accord constant de son résultat avec ceux de Tanalvse ordinaire et l'ascendant qu'il donnait aux nouveaux calculs. Ces succès multipliés prouvaient victorieusement que toutes les objections n'étaient que spécieuses ; mais ces savants n'y répondirent point d'une manière directe, et le nœud de la difficulté resta. Il est des vérités dont tous les esprits justes sont frappés d'abord, et dont cependant la démonstration rigoureuse échappe longtemps aux plus habiles.

<c M. Leibnitz, dit d'Alembert, embarrassé des objections qu'il sentait que l'on pouvait faire sur les quantités infiniment petites telles que les considère le Calcul différentiel, a mieux aimé réduire ses infiniment petits à n'être que des incomparables , ce qui ruinerait l'exactitude géométrique des calculs. »

Mais, si Leibnitz s'est trompé, ce serait uniquement en formant des doutes sur l'exactitude de sa propre analyse, si tant est qu'il eût réellement ces doutes, ce qui ne paraît nullement probable , et il pouvait répondre :

i® Vous me demandez ce que signifie l'expression de quantités infinitésimales ; je vous déclare que je n'entends point parla des êtres métaphysiques et abstraits, comme cette expression abrégée semble l'indiquer, mais des quantités réelles, arbitraires, susceptibles de devenir aussi petites que je veux, sans que je sois obligé pour cela de faire varier en même temps les quantités dont je m'étais proposé de trouver la relation.

2* Vous me demandez si mon calcul est parfaitement exact et rigoureux; j'affirme que oui, du moment que je suis parvenu à en éliminer les quantités infinitésimales dont je viens de parler et que je l'ai ramené à ne plus renfermer que des quantités algébriques ordinaires. Jusque-là je ne regarde mon calcul que comme une simple méthode d'approximation. Ceux qui, pour