C. — Métaphys

concilier la rigueur du calcul^ dans tout le cours des opérations, avec la simplicité de mon algorithme, ont imaginé de considérer les quantités infiniment petites comme absolument nulles, ne se dispensent point de l'élimination dont je viens de parler, et, sans contester la justesse de leur métaphysique, j'observe qu'ils ne gagnent rien sur moi relativement à la simplicité des procédés, qui sont toujours les mêmes, et qu'ils rencontrent une autre difficulté : c'est que tous les termes de leurs équations s'évanouissent en même temps, de sorte qu'ils n'ôntplusque des zérosà calculeret les rapports indéterminés de o à o à combiner. Ne vaudrait-ilpas autant mesquantités infinitésimales telles que je les avais d'abord proposées, c'es.t-à-dire considérées comme moindres que toute grandeur imaginable? De purs zéros sont-ils plus faciles à concevoir? En regardant mes quantités inappréciables comme chimériques , ne pourraient-elles pas aussi bien que ces zéros purs être comparées l'une à l'autre? Concevez-vous mieux ce qu'est une quantité imaginaire, telle a \/ — i , qu'une quantité inappréciable? Et cependant hésitez-vous à dire que le rapport de

a \l — i k b ^ — I est -? Les Mathématiques ne sontelles pas remplies de pareilles énigmes, et ces énigmes ne sont-elles pas ce qui distingue essentiellement l'analyse de la synthèse, et même ce qui fournit à la première ces ressources précieuses dont manque la seconde? Si je vous demande ce que signifie une équation dans laquelle il entre des expressions imaginaires, comme dans le cas irréductible du troisième degré, vous me répondez que cette équation ne peut servir à connaître les véritables valeurs de l'inconnue, que quand, par des transformations quelconques, on est parvenu à en éliminer les quantités imaginaires. Je vous réponds la même

PRiNci;n:s générai x. 35

chose pour mes quanlités inappréciables : je ne les emploie que comme auxiliaires. Je conviens que mon calcul n'est rigoureusement exact que lorsque je suis parvenu à les éliminer toutes : jusqu'alors il n'est point achevé, et il n'est pas susceptible d'application. Le vôtre l'est-il davantage avant que vous l'ayez purgé de tous vos zéros? Au surplus, dans ma nouvelle manière d'envisager la question, c'est-à-dire en considérant mes quantités auxiliaires, non comme infiniment petites absolues, mais seulement comme indéfiniment petites, je mets mon analyse à l'abri de toute chicane, j'en fais une méthode, non d'approximation, mais de compensation, c'est-à-dire une méthode qui réunit la facilité d'un simple calcul d'approximation à l'exactitude des méthodes les plus rigoureuses, et je démontre qu'elle n'est autre chose que la méthode même d'exhaustion réduite en algorithme. Je sais qu'on peut y suppléer par la méthode d'exhaustion elle-même, par celle des limites, ou même par la seule Algèbre ordinaire ; mais il faut savoir si ces autres méthodes réunissent au même degré que la mienne la simplicité à la fécondité. Je m'en rapporte sur cela aux illustres géomètres qui proposent bien d'autres méthodes en théorie, mais qui dans la pratique se servent de la mienne.

3i . Mais s''il est bon d'écarter les vaines subtilités qui seraient plus propres à entraver la marche des sciences qu'à leur donner une meilleure base, il n'en faut -pas moins établir solidement et directement les principes sur lesquels on s'appuie et les procédés que l'on emploie, car la première condition à remplir en Mathématiques est d'être, exact, la seconde est d'être clair et simple -autant que possible.

Il y a des personnes, par exemple, qui croient avoir

suffisamment établi le principe de l'Analyse infinitésimale lorsqu'elles ont fait ce raisonnement : il est évident, disent-elles, et avoué de tout le monde que les erreurs auxquelles les procédés de l'Analyse infinitésimale donneraient lieu, s'il y en avait, pourraient toujours être supposées aussi petites qu'on le voudrait; il est évident encore que toute erreur qu'on est maître de supposer aussi petite qu'on le veut est nulle, car, puisqu'on peut la supposer aussi petite qu'on le veut, on peut la supposer o ; donc les résultats de l'Analvse infinitésimale sont rigoureusement exacts.

Ce raisonnement, plausible au premier aspect, n'est cependantrien moins quejuste, car il est faux de dire que, parce qu'on est maître de rendre une erreur aussi petite qu'on le veut, on puisse pour cela Ja rendre absolument

nulle. Par exemple {Jîg- i ), l'équation ■— ^ = — : trouvée (9) est une équation toujours fausse, quoiqu'on puisse en rendre l'erreur aussi petite qu'on le veut, en diminuant de plus en plus les quantités MZ, RZ , car, pour que cette erreur disparût entièrement, il faudrait réduire ces quantités MZ, RZ au o absolu ; mais alors

l'équation se réduirait à - = — '- — 9 équation qu'on ne ^ o a — jc ^ ^

peut pas dire précisément fausse, mais qui est insignifiante, puisque - est une quantité indéterminée. On se

trouve donc dans l'alternative nécessaire ou de commettre une erreur, quelque petite qu'on veuille la supposer, ou de tomber sur une formule qui n'apprend rien, et tel est précisément le nœud de la difficulté dans l'Analyse infinitésimale.

32. D'autres personnes se bornent à regarder les quantités appelées infiniment petites comme des incompa-

rableSy dans le sens qu'un grain de sable, par exemple, est incomparable par sa petitesse avec le globe entier de la Terre, car alors, disent- elles, les erreurs commises sont inappréciable^ et doivent conséquemment être entièrement négligées dans le résultat du calcul.

Mais l'Analyse infinitésimale envisagée de cette manière ne serait plus qu'une méthode d'approximation ; tandis qu'on sait parfaitement qu'elle est absolument rigoureuse.

Cette comparaison du grain de sable au globe de la Terre peut être utile cependant pour faciliter l'expression des conditions du problème, en indiquant ce qui peut être négligé ; mais dans les équations finales l'erreur même du grain de sable ne doit plus subsister. Elle a dû disparaître, par cela même qu'elle a été commise, non pas une fois seulement dans le cours du calcul, mais plusieurs fois, dans des sens opposés, de sorte qu'il s'est opéré une compensation nécessaire, qui se trouve indiquée d'une manière certaine, dans ces équations finales, par l'élimination de toutes les quantités arbitraires.

33. Je crois avoir suffisamment démontré l'exactitude des principes de l'Analyse infinitésimale leibnitzienne; mais, pour en rendre l'application plus facile, je crois devoir les présenter encore sous un jour un peu diflerent.

J'appelle équation imparfaite toute équation dont l'exactitude rigoureuse n'est pas démontrée, mais dont on sait cependant que l'erreur, s'il en existe une, peut être supposée aussi petite qu'on le veut , c'est-à-dire telle que, pour rendre cette équation parfaitement exacte, il suffit de substituer aux quantités qui y entrent, ou seulement à quelques-unes d'entre elles, d'autres quantités qui en diffèrent infiniment peu.

D'après cette définition, il est clair qu'on peut faire

3K CiUHIlHK I.

subir aux équations imparfaites diverses transformations sans leur ôter le caractère d'équations imparfaites ^ comme, par exemple, de transposer les termes d'un membre dans Tau Ire , de multiplier ou diviser ces deux membres par d^s quantités égales, de les élever aux mêmes puissances ou d'en tirer les mêmes racines.

Bien plus, on peut, au lieu des quantités quelconques qui y entrent, en substituer d'autres qui en diffèrent infiniment peu, négliger les quantités infiniment petites relativement aux quantités finies, et plus généralement les quantités accessoires vis-à-vis des quantités principales, sans que ces équations perdent jamais pour cela leur caractère primitif d'équations au moins imparfaites et qui peuvent enfin se trouver exactes par compensation d'erreurs.

Mais ce qu'il est important de remarquer, c'est que ces erreurs accumulées^ au lieu d'éloigner de plus en plus du but, qui est de ramener ces équations imparfaites à l'exactitude absolue, comme il semble d'abord que cela doit arriver, servent au contraire à y conduire par le chemin le plus court, et le plus simple, parce qu'en écartant ainsi successivement ces accessoires incommodes, avec la seule attention de ne jamais dépouiller les équations dont il s'agit de leur caractère principal, on parvient enfin à les dégager absolument de toute considération de l'infini, par l'élimination complète de tout ce qui s'y trouvait d'arbitraire , et qu'il n'y reste plus que les quantités dont on voulait obtenir la relation. Cela posé, toute la théorie de l'infini peut être regardée comme renfermée dans le théorème suivant.

THÉOÎIÈME.

»>^' Pour être certain qu'une équation est néccs-

PRINCIPES UÉiNHRAtX. ^(J

smrenwnl et rigoareuseuient exacte, il suffit de s'assurer :

1° Quelle a été déduite iVéiiuat ions vraies ou du moins imparfaites, par des transfoimàtions qui ne leur ont point ôté le caractère d' équations au moins imparfaites;

2** Quelle ne renferme plus aucune quantité infinitésimale, c'est-à-dire aucune quantité autre que celles dont on s'est proposé de tromper la relation.

Démonstration, — Puisque, par hypothèse, les transformations qu'on a pu faire subir aux équations d'où l'on est parti ne leur ont point ôté le caractère d'équations au moins imparfaites, ces équations ne peuvent se trouver affectées que d'erreurs susceptibles d'être rendues aussi petites qu'on le veut.

Mais, d'un autre côté, ces équations ne peuvent plus être de celles que j'ai nommées imparfaites, car cellesci ne peuvent exister qu'entre quantités qui contiennent quelque chose d'arbitraire, puisque par leur définition même l'erreur peut en être supposée aussi petite qu'on le veut. Or, par hypothèse, toutes les quantités arbitraires sont éliminées, puisqu'il ne reste plus que celles dont on s'est proposé de trouver la relation.

Donc les nouvelles équations ne peuvent être absolument fausses, c'est-à-dire affectées d'erreurs qui ne puissent être rendues aussi petites qu'on le veut, ni de celles que j'ai nommées imparfaites. Donc elles sont nécessairement et rigoureusement exactes. Ce qu'il fallait démontrer.

COIIOLLAIIIE PREMIER.

33. Que les équations dont il s'agit soient exprimées par des symboles algébriques ou qu'elles soient sup-

4o CHAPITRE I.

pléées par des propositions exprimées en langage ordinaire, la démonstration précédente a toujours lieu. Donc^ si pour arriver à la solution d'une question quelconque on établit ses raisonnements sur des propositions telles que les erreurs qui pourraient en résulter soient aussi petites qu'on le veut, et qu'enfin, de conséquences en conséquences semblables, on parvienne à des propositions qui soient dégagées de toute considération de Tinfini, et par conséquent de toute quantité arbitraire, ces dernières propositions seront nécessairement et rigoureusement exactes.

COROLLAIUE 11.

36. Il suit du théorème et du corollaire précédents que l'Analyse infinitésimale se réduit à trois points qui, strictement observés, ne peuvent jamais conduire qu'à des résultats parfaitement exacts, et par les moyens le» plus simples que l'on connaisse, savoir:

I® Exprimer les conditions de la question proposée soit par des équations exactes, soit au moins par des équations imparfaites ou par des propositions équivalentes «

2" Transformer ces équations ou propositions de diverses manières, sans jamais leur faire perdre leur caractère primitif d'équations au moins imparfaites.

3** Diriger ces transformations, pour l'élimination complète des quantités infinitésimales et des fonctions quelconques de ces mêmes quantités, de manière à en dégager entièrement les résultats du calcul.

37. En terminant cet exposé de la doctrine des compensations, je crois pouvoir m'honorer de l'opinion qu'en avait prise le grand homme dont le monde savant

PRINCIPES GÉNÉRAUX. il

déplore la perte récente, Lagrange. Voici comment il s'exprime à ce sujet dans la dernière édition de sa Iliéo' rie des fonctions analytiques :

« Il me semble que, comme dans le Calcul différentiel tel qu'on l'emploie on considère et on calcule en effet les quantités infiniment petites ou supposées infiniment petites elles-mêmes, la véritable métaphysique de ce Calcul consiste en ce que Terreur résultant de cette fausse supposition est redressée ou compensée par celle qui naît des procédés mêmes du calcul, suivant lesquels on ne retient dans la différentiation que les quantités infiniment petites du même ordre. Par exemple, en regardant une ' courbe comme un polygone d'un nombre infini décotes, chacun infiniment petit, et dont le prolongement est la tangente de la courbe, il est clair qu'on fait une supposition erronée ; mais l'erreur se trouve corrigée dans le calcul par l'omission qu'on y fait des quantités infiniment petites. C'est ce qu'on peut faire voir aisément dans des exemples, mais ce dont il serait peut-être difficile de donner une démonstration générale. »

Voilà toute ma théorie résumée avec plus de clarté et de précision que je ne pourrais en mettre moi-mêmcN Qu'il soit difficile ou non d'en donner une démonstration générale, la vraie métaphysique de l'Analyse infinitésimale, telle qu'on l'emploie et telle que tous les géomètres conviennent qu'il faut l'employer pour la facilité des calculs, n'en est pas moins, suivant l'illustre auteur même que je viens de citer, le principe des compensations d'erreurs, et je crois au surplus qu'il ne manque rien ni à l'exactitude ni à la généralité de la démonstration que j'ai donnée.

38. Ce qui précède ne renferme encore que les principes généraux de l'Analyse infinitésimale, et nous allons

i'Jt niAPlTHE I.

les appliquer à quelques exemples particuliers, avant de faire voir comment ces principes généraux ont été réduits en algorithme par Leibnitz^ ce qui leur a imprimé le caractère d'un calcul régulier. Ainsi ce que nous avons dit n'appartient encore qu'à la synthèse et à l'analyse ordinaire, mais cette nouvelle synthèse est déjà par ellemême très importante et très lumineuse, et, si les anciens l'eussent possédée, au lieu de la méthode d'exhaustion qu'elle supplée, ils eussent grandement simplifié leurs travaux et ils eussent probablement poussé leurs découvertes beaucoup plus loin qu'ils ne l'ont fait, car ils employaient leurs forces à vaincre les difficultés, qui se trouvent surmontées tout de suite par la seule notion de l'infini.

Quant à l'usage que l'analyse algébrique ordinaire peut faire de la même notion, abstraction faite de l'algorithme qui lui est propre, si l'on veut savoir le parti qu'il est possible d'en tirer, il n'y a qu'à lire V Introduction à l' analyse des injinis d'Euler, et l'on sera étonné de la puissance d*un pareil instrument dans une main habile.