Mener une tangente à la cycloïde ordinaire

Soit {jlg* â) AEB une cycloïde ordinaire, dont le cercle générateur soitE/;r/F. La propriété principale de cette cycloïde est que, pour un point quelconque w, la portion rnp de l'ordonnée comprise entre la courbe et la circonférence génératrice est égale à l'arc E/? de cette circonférence.

Cela posé, menons au point /[; de cette même circonférence une tangente y^ï, et proposons-nous de trouver le point T où cette tangente sera rencontrée par celle m T de la cycloïde.

Pour cela, je mène une nouvelle ordonnée n(f infiniment proche de la première mp, et par le point m je

Fig. !>.

mène mr parallèle au petit arcpt/^ 4"^ j^ considère, ainsi que m/1, comme une ligne droite.

Il est clair alors que les deux triangles m/ir, Tnip seront semblables, et que par conséquent nous aurons nir Inj' Il Tp : mp. Mais, puisque par la propriété de la cycloïde on a E^ = 7i<7 et Kp = mpy on aura, en retranchant la seconde de ces équations de la première, Ey — E/7 = Tiy — mp, ou pt/ = /i/', ou mr = nr. Donc, à cause de la proportion trouvée ci-dessus, on aura ïy^ = mp ou Tp = Eyy, c'est-à-dire que la sous- tangenteTp est toujours égale à Tare correspondant E/?'. Or, comme cette proposition est dégagée de toute considération de rinfini, elle est nécessairement et rigoureusement exacte.