Prous^er que deux pyramides de mêmes bases et

de même hauteur sont égales en volume.

Concevons les deux pyramides proposées partagées en

un même nombre de tranches infiniment minces parallèlement à leurs bases et d'épaisseurs respectivement ég^ales. Comparons deux des tranches correspondantes, prises l'une dans la première et l'autre dans la seconde de ces pyramides. Or je dis d'abord que ces deux tranches ne peuvent différer qu'infiniment peu l'une de l'autre.

En effet, chacune de ces tranches est elle-même une pyramide tronquée, et, si de tous les angles de la plus petite .de ces deux bases on conçoit des parallèles qui aillent rencontrer la plus grande, il est clair que le tronc de pyramide se trouvera décomposé en deux parties, l'une prismatique, comprise entre ces parallèles, ayant pour épaisseur la distance des deux bases du tronc et pour base la plus petite des deux de ce même tronc , l'autre en forme d'onglet, ayant aussi pour épaisseur la distance des deux bases du tronc et pour base la différence entre la plus grande et la plus petite de ce même tronc. Mais ces deux dernières bases pouvant se rapprocher l'une de l'autre autant qu'on le veut, leur différence peut évidemment être rendue aussi petite qu'on le veut relativement à chacune d'elles. Donc l'onglet est luimême infiniment petit relativement à la tranche à laquelle il appartient.

Cela posé, nommons T et T' les volumes des deux trandhes correspondantes dans les deux pyramides, p et fjf les portions prismatiques, q et (f les onglets; nous aurons les deux équations exactes

l=zp-J^q, T=zp'-hq\ ou p=T — q, p'zzzT—q'.

Mais p et // sont des prismes de mêmes bases et de même hauteur; donc on a /> = //; égalant donc leurs valeurs, on aura T-+-^ = T'-(- ^/; négligeant q et y', que nous venons de voir être infiniment petites relativement à T et T', on aura T = T'.

Comme cette équation n'est pas dégagée de Tinfini, nous ne pouvons encore savoir si elle est exacte ou seulement imparfaite ; mais, comme on peut appliquer à toutes les tranches qui composent les pyramides entières ce que nous venons de dire de deux d'entre elles, il suit qu'en nommant P et P les volumes entiers des deux pyramides on aura P = l^. Or ces deux volumes des pyramides entières sont des quantités fixes. Donc l'équation P = P' est entièrement dégagée de toute considération de l'infini. Donc elle est nécessairement et rigoureusement exacte.

AUTRE DÉMONSTRATiON.

41 . Il est évident que chacune des tranches dont nous avons parlé peut être imaginée comprise entre deux prismes de même hauteur qu'elle, dont l'un aurait pour base la plus grande des deux bases de la tranche et l'autre la plus petite. La tranche est donc moindre que le plus grand de ces deux prismes et plus grande que l'autre. Donc la somme des tranches qui composent chaque pyramide entière est moindre que la somme des prismes circonscrits aux tranches et plus grande que la somme des prismes inscrits. Mais il est clair que la différence de chaque prisme circonscrit au prisme inscrit de la même ti anche est le produit de la différence des deux bases par la hauteur de la tranche. Donc la somme des prismes circonscrits aux tranches de l'une des pyramides, moins la somme des prismes inscrits aux mêmes tranches, est le produit de la hauteur de l'une quelconque des tranches par la somme des différences entre les grandes et les petites bases. Or, si Ton fait la projection de toutes ces différences sur la base même de la pyramide, on verra facilement que ces projections

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couvrent exactement cette base. Donc la somme des prismes circonscrits, moins la somme des prismes inscrits, équivaut à la base même de la pyramide, multipliée par la hauteur de Tune quelconque des tranches. Or cette hauteur est aussi petite qu'on le veut; donc la somme des prismes circonscrits ne diffère qu'infiniment peu de la somme des prismes inscrits dans la même pyramide.

Maintenant, si l'on compare les prismes inscrits et circonscrits dans chaque pyramide aux prismes correspondants de l'autre, on trouvera qu'ils ont tous respectivement mêmes bases et même hauteur. Donc ils sont respectivement égaux. Donc la somme de ceux d'une des pyramides est égale à la somme de ceux de l'autre.

Mais chaque pyramide elle-même est moindre que la somme des prismes circonscrits et plus grande que la somme des prismes inscrits. Donc, puisque ces sommes sont toutes ou égales ou infiniment peu différentes les unes des autres, les pyramides elles-mêmes sont infiniment peu différentes Tune de l'autre. Donc, en faisant abstraction des quantités infiniment petites à l'égard des pyramides entières, on peut dire que ces pyramides sont égales, et, comme cette dernière proposition est entièrement dégagée de toute considération de l'infini, elle est nécessairement et rigoureusement exacte. Donc deux pyramides de mêmes bases et de même hauteur sont égales entre elles.