PROBLÈME IH

42. ProuKfer que l'aire d'une zone sphérique est égale à l'aire de la portion correspondante du cylindre xfui lui est circonscrit.

Soient AGB {fig* 3) la demi-circonférence génératrice de la surface sphérique proposée, C le centre, AB le dia-

mètre, ADEB le quadrilatère générateur du cylindre circonscrit, mr une portion infiniment petite de la demicirconférence génératrice, smpytrq des perpendiculaires sur le diamètre AB, prolongées jusqu'à sa parallèle DE,

mil une perpendiculaire menée du point ni sur Z/v/, Cm le rayon mené au point m. Je vais d'abord prouver que la zone engendrée par le petit arc mr est égale à Taire de l'anneau cylindrique engendré par ptf.

Pour cela je considère le cercle comme un polygone d'une infinité de côtés et Tare mr comme l'un de ces côtés. Cela posé, les triangles semblables m/ir, msc donnent m/z : mr \\ ms l me, ou, parce que l'on a mn = pg et que les circonférences qui ont pour rayons ms, mC sont entre elles comme ces rayons, pq l mrll cire, ms l cire. mC, ou cire, ms X nir = cire. mC. pt/.

Mais il est évident que le premier membre de cette équation diffère infiniment peu de l'aire convexe du petit cône tronqué engendré par le trapèze mstr ou de la petite zone engendrée par Tare mr considéré comme ligne droite, et que le second membre est l'aire de l'an-

neau cylindrique qui lui correspond. Donc Taire de la petite zone est égale à celle du petit anneau.

Cette égalité n^étant point dégagée de Tinfini, nous ne pouvons encore savoir si elle est exacte ou seulement imparfaite; mais, comme nous pouvons appliquer à toutes les zones infiniment petites ce que nous avons dit de la première, nous en conclurons que généralement une zone quelconque de grandeur déterminée est égale à la portion de surface cylindrique qui lui correspond, proposition qui, étant entièrement dégagée de Tinfini, est nécessairement et rigoureusement exacte.