PROBLÈME IV

43. Prouv^er que le volume du paraboloïde est la moitié du cylindre de même base et de même hauteur.

Soient {Jig' 4) Am/iC la pai'abole génératrice, TA/;D son axe, A/> Tabscisse répondant au point m,* pm Tor-

Fig. /|.

donnée, T)[; la sous-tangente, ^tz une seconde ordonnée infiniment proche de la première, Krs la tangente au sommet, mr,w^ deux perpendiculaires menées des points

m, n sur cette tangente, nit le prolongement de mr jusqu'à la rencontre de qn.

Je considère la courbe comme un polygone d'une infinité de côtés, Qlmn comme l'un de ces côtés. En imaginant la figure tourner autour de l'axe TAp, le petit trapèze^mw^ engendrera un des éléments du paraboloïde, et le petit trapèze rsmn l'élément correspondant du volume qui fait le complément de ce paraboloïde, relativement au cylindre engendré par le quadrilatère A ^/i^. Or je dis que ces deux éléments sont égaux entre eux. En effet, il est clair que le premier, c'est-à-dire celui du paraboloïde, est, en négligeant les quantités qui sont infiniment petites relativement à celles qui restent, qp.pm {cire. pm, et que l'autre élément sera rs.mr, circ.Ar.

Mais on a r^ = tn, Ar =^ pm, et comme dans la parabole la sous-tangente est double de l'abscisse, on a aussi mr = 7/j;T. Donc le second élément indiqué ci-dessus devient ni-jpT cire. /?m. Or les triangles semblables mnt, Tmp donnent f/i: mt :: pml Tp; donc Tn,Tp = mt,pm. Substituant donc cette valeur de tn,Tp dans l'expression précédente, elle deviendra mt.pm \ cire, pm, qui est la même que celle qui a été trouvée ci-dessus pour le premier élément. Donc les deux éléments sont égaux ou diffèrent infiniment peu.

Mais, comme cette égalité reste encore affectée de l'infini, j'imagine tout le paraboloïde composé de semblables éléments, et, appliquant à chacun le même raisonnement que ci-dessus, je conclus que la somme de tous les éléments du paraboloïde, c'est-à-dire le volume même de ce corps, est égale à la somme des éléments du volume complémentaire, et par conséquent la moitié seulement du cylindre, proposition qui, étant dégagée de toute considération de l'infini, est nécessairement et parfaitement rigoureuse.