PROBLEME V

44. Démontrer que dans le mou^^ement uniformément accéléré les espaces parcourus sont comme les carrés des temps, à compter de l'instant où la vitesse était o.

Le mouvement uniformément accéléré est celui dans lequel les vitesses acquises depuis l'instant où la vitesse était o sont proportionnelles aux temps écoulés depuis la même époque. Si donc on nomme \^ cette vitesse, t le temps et E l'espace parcouru, et que pour un autre instant on nomme v^ la vitesse, t! le temps écoulé et E' l'espace, on aura, par hypothèse, V.v' \\t\t! ^ et il s'agit de prouver qu'on a E* E' : : i^ . ^/2,

Considérons la vitesse comme croissant par des degrés infiniment petits égaux, et soit p l'augmentation infiniment petite qu'elle reçoit à chaque fois. Cette vitesse sera donc successivement depuis le commencement o, p^ 2p^ 3/^, 4Pf ainsi de suite, selon les termes de la progression par différence croissante, dont le premier terme est o et la raison p.

Nommons q l'intervalle de temps infiniment petit qui s'écoule d'un accroissement de la vitesse à l'autre. Ces accroissements étant égaux et les temps étant proportionnelsaux vitesses, l'intervalle </ sera toujours le même, et pendant cet intervalle la vitesse étant regardée comme uniforme, les espaces parcourus successivement seront o, pçy ^pÇj 3/7^,. . ., aussi selon les termes d'une progression par différence. Donc l'espace total parcouru, c'est-à-dire la somme des espaces parcourus à chaque instant, sera la somme de tous les termes de cette progression .

Or la somme de tous les termes d'une progression par

DE l'algorithme. 5i

différence dont le premier ternie est o se trouve en multipliant le dernier terme par la moitié du nombre des termes. Mais le temps total t est évidemment égal au petU temps q multiplié par le nombre des termes moins un ; si donc on nomme n ce nombre de termes, on aura

t=:q[n — I ou /î r= 9

OU, en négligeant dans le numérateur^ comme infiniment petit à regard de ty on aura 72 = -; donc la vitesse

finale est p[n — i) ou p-* Donc la somme des termes

ou l'espace parcouru est-^— ^^ c'est-à-dire qu'on aura

E = — T' Par la même raison on aura E'r= — -• donc

iq* iq'^

E:E':: V^ ',t'^, proportion qui, étant dégagée de toute considération de l'infini, est nécessairement et rigoureusement exacte.

45. Ces exemples suffisent pour montrer comment on peut employer dans le raisonnement et l'Algèbre ordinaire les principes de l'Analyse infinitésimale ; nous allons voir maintenant comment on est parvenu à réduire ces principes en algorithme dans les Calculs différentiel et intégral.