DE L'ALGORITHME ADAPTÉ A U ANALYSE INFINITÉSIMALE

46. Une fois les principes généraux de la nouvelle doctrine bien établis, on a pu remarquer, dans les nombreuses applications dont elle est susceptible, que parmi les quantités infiniment petites qu'elle met en œuvre il en est d'une classe particulière qui s'offrent beaucoup plus fréquemment que toutes les autres : ce sont celles qu'on a nommées différentielles.

On entend par le mot différentielle la différence de deux valeurs successives d'une même variable, lorsque l'on considère le système auquel elle appartient dans deux ou plusieurs états consécutifs, dont l'un est regardé comme fixe et les autres comme se rapprochant continuellement et simultanément du premier jusqu^à en différer aussi peu qu'on le veut.

47. L'expression diminutivede quantité différentielle indique tout à la fois que la quantité qu'elle exprime est une différence, et que cette différence est une quantité infiniment petite. Elle marque la quantité infiniment petite dont la variable a augmenté en passant de son premier état au second.

La différentielle d'une quantité s'exprime ordinairement dans le calcul par la lettre d mise au devant de celle qui exprime la variable : ainsi dx signifie différen-

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tielle àe X y dj signifie différentielle dej^, d- signifie

différentielle de la fraction -<, c'est-à-dire la quantité

infiniment petite dont cette fraction augmente lorsque cr augmente de dx et y de dy. La lettre d ne représente donc point une quantité, mais elle est employée comme simple indice ; ce n'est qu'une abréviation de ces mots différentielle de, et elle porte dans le calcul le nom de caractéristique.

Les quantités constantes n'ont point de différentielles, ou, si l'on veut, leur différentielle est o, puisque par leur nature elles n'augmentent pas ou que leur augmentation peut être supposée nulle lorsque le système est considéré comme passant de son premier état au second.

48. Lorsque le calcul donne pour la différentielle d'une quantité une valeur négative, c'est une preuve qu'on a fait une fausse supposition et que la variable dont il s'agit, au lieu d'aller en croissant comme on l'avait supposé, va au contraire en diminuant, par le changement général de l'état du système. Ainsi, par exemple, un arc de cercle moindre que le quart de la circonférence étant représenté par 5, sa différentielle sera dsy celle de son sinus sera dûns et celle de son cosinus dcoss. Or, comme on suppose que s va en croissant, il est évidenlquele sinus ira de même en croissant, mais que le cosinus au contraire ira en diminuant. Donc le calcul algébrique devra assigner à d coss une valeur négative, et c'est ce qui a lieu, en effet, comme on le verra plus loin. Mais, soit que la variable aille en augmentant ou en diminuant, on entend toujours par sa différentielle la différence de sa seconde valeur à la pre-

mière, et on la désigne constamment par la caractéristique dy suivie de la variable et prise positivement, laissant à l'ordinaire au calcul le soin de redresser par lui-même les fausses suppositions qu'on pourrait avoir faites.

Lorsque plusieurs quantités variables sont liées par une loi quelconque, comme le sont par exemple l'abscisse cl l'ordonnée d'une courbe, l'accroissement de l'une détermine nécessairement l'accroissement de l'autre. Ainsi, en désignant l'abscisse par x et l'ordonnée par y y il y aura entre dx et dj- une relation déterminée par celle de X et dey elles-mêmes. Et réciproquement, la relation de X et y dépend de celles qu'elles ont elles-mêmes avec leurs différentielles dx, dy. De là les deux branches de l'Analyse infinitésimale, l'une ayant pour objet de trouver la relation qui existe entre les différentielles de plusieurs variables et ces variables elles-mêmes lorsque l'on connaît celle qui existe entre ces dernières seulement, l'autre ayant pour objet de retrouver la relation qui existe entre les variables seulement, lorsque l'on connaît celle qui lie ces variables avec leurs différentielles.

49. Or il est aisé de concevoir combien les règles de ces calculs, une fois trouvées, peuvent aider à résoudre les diverses questions qu'on peut se proposer, car toute question se réduit à trouver la relation qui existe entre certaines quantités désignées. Or, si je ne puis apercevoir immédiatement cette relation, je cherche naturellement à y parvenir par l'entremise de quelques quantités auxiliaires. Mais de toutes les quantités auxiliaires, l'usage apprend qu'aucune ne donne lieu à plus de simplifications que celles qu'on nomme infinitésitnales ; il est donc naturel de les introduire autant que possible dans les combinaisons. Alors il arrive, ou qu'elles s'éli-

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minent d'elles-mêmes à la manière des quantités algébriques ordinaires, et, dans ce cas, tous les procédés suivis dans le cours des opérations appartiennent à ce qu'oij nomme Calcul différentiel , ou il faudra recourir àcertaines transformations inusitées dans l'Algèbre ordinaire, mais dont l'objet est toujours d'éliminer ces auxiliaires appelées infinitésimales, et ces transformations sont de la compétence de ce qu'on nomme Calcul intégrale

Le premier de ces calculs est beaucoup plus facile que le second, parce qu'il ne renferme, à proprement parler, aucun procédé qui ne lui soit commun avec l'ancienne analyse ; mais le Calcul intégral exige des procédés fort différents et qui sont loin encore d'être complets, malgré les travaux des savants de premier ordre qui s'en sont occupés. Mon objet ici n'est que de faire connaître l'esprit de ces méthodes et d'indiquer la marche générale de ces calculs. Je commencerai par le Calcul différentiel, comme le plus simple, et comme indispensable pour parvenir à la connaissance du Calcul intégral, mais en me restreignant aux premières notions, pour Vxm comme pour l'autre.