DU CALCUL DIFFÉRENTIEL
50. Nous avons dit que la différentielle d'une quantité variable était la différence infiniment petite du second état de cette variable avec le premier ; il s'agit donc de trouver cette différentielle pour tous les cas possibles, c'est-à-dire pour toutes les fonctions possibles des variables proposées, telles que x, j^, z,. . .^ dont les différentielles particulières sont déjà exprimées par dx, dyy
lA ^9 • • • • é
Il faut d'abord examiner quelle distinction nous de-
vons mettre entre l'opération par laquelle on prendrait une différence ordinaire ou finie et celle par laquelle on doit se borner à prendre une différentielle ou une différence infiniment petite. Si nous considérons le système proposé dans deux états quelconques déterminés différents l'un de l'autre, la différence des deux valeurs de la même quantité prise dans les deux systèmes sera également déterminée et ne pourra par conséquent être supposée aussi petite qu*on le voudra ; ainsi l'on ne pourrait rien y négliger sans commettre des erreurs qu'on ne serait plus à même de rectifier. Mais si les deux systèmes sont supposés se rapprocher l'un de l'autre autant qu'on lèvent, la différence des deux valeurs de la même variable pourra être rendue aussi petite qu'on le voudra; elle deviendra ce qu'on nomme une différentielle et ne sera autre chose que la différence ordinaire simplifiée parla suppression des quantités qui, dans son expression, pourraient se trouver infiniment petites relativement aux autres termes dont elle est composée. Tel est le principe général de la différentiation.
51. Il suit évidemment de ce principe général que, pour différentier une quantité ou une fonction quelconque de cette quantité ou de plusieurs quantités combinées, que j'exprimerai par (^{jc,j^ z, . . . ), il n'y a qu'à là considérer dans le second état, c'est-à-dire lorsque, Xf jj z, ... devenant respectivement x H- dx, y -f- dy^, z ■+- dz, . . . , cette fonction devient elle-même
retrancher de cette fonction ainsi accrue ce qu'elle était d'abord, c'est-à-dire ç(»r, j, z, . . . ), ce qui donnera pour la différence de la fonction proposée
y (.r -f- dx^ y -\-df, z-hdz, . , .] — f[:r, y, 2, . . . ),
DE l'algorithme. 5y
et alors pour passer de cette différence à la différentielle, il n'y aura plus qu'à réduire l'expression en y négligeant les quantités qui se trouveraient infiniment petites vis-à-vis de celles auxquelles elles seraientajoutées ou dont elles seraient retranchées. Il ne nous reste donc plus qu'à appliquer cette formule générale à chaque cas particulier.
Soit proposé de différentier la somme
de plusieurs quantités dont les unes «, b sont constantes et les autres X, y, z variables, c'est-à-dire soit proposé de trouver d[a -\- b -\- x -^ y -{- z).
Suivant la formule générale donnée ci-dessus, les constantes a, b n'ayant aucune différentielle et les variables Xj y, z ayant respectivement pour différentielles dx^ dj^ dz, nous devons avoir
d[a-\- b -\-.v -^x -^ z] = a -^ b -\- [x '^- dx] -^ [X -^ ^X)
-4- [z -\- dz] — [a -\- b -\- X '\- X ^- ^),
équation qui se réduit à
d[a-\- b -\- x-hx -^ z] = dx -h dx -^ dz ,
c'est-à-dire ç\{\e la différentielle d* une somme quelconque de constantes et de ^variables est égale à la somme des différentielles des seules ^variables,
52. Soit proposé de différentier x — j; on aura, d'après la formule générale,
d[x-^X) = [x-^dx) — [x-\-dx) —-[x—x] OU, en réduisant,
à{x—x) =idx-~dx, c'est-à-dire que la différentielle de la dij^erence de
deux variables quelconques est égale à la différence de leurs différentielles.
Soit proposé de différentier ax -f- bj — cz\ on aura, par la formule générale,
d[ax -h by — cz) z=adx ~t- bdjr — c dz.
on
33. Soit proposé de différentier le produit xy; ( aura d'abord pour différence, par la formule générale,
ou, réduisant,
X dj-4-jdx -^ d.r dy.
Mais, comme il s'agit non d'une différence quelconque, mais de la différentielle, on remarquera que le dernier terme dx dj est infiniment petit relativement à chacun des deux autres, puisqu'en le divisant par le premier il
dx dy
donne — et par le second — » qui soirt évidemment .r ^ X ^
l'une et l'autre des quantités infiniment petites. Donc
ce troisième terme doit être néglige vis-à-vis des autres;
donc la formule se réduit à
dxy = X djr -\- y dx.
On trouverait pareillement
dxyz =z xy dz -^ xzdy -¥- yz dx ;
et de même pour un plus grand nombre de facteurs, d'où suit cette règle : Pour dij^érentier le produit de plusieurs facteurs ^variables, il faut prendre la somme des différentielles de chaque variable, multipliées chacune par le produit de toutes les autres variables.
S4. Soit proposé de différentier la fraction -
DE l'algorithme. 69
Suivant la formule générale, la différence sera
y -I- fh' y
ou, en réduisant au même dénominateur,
ydr — .T.dy
or, comme ce n'est point la différence absolue qu'on demande, mais seulement la différentielle, il faut effacer de cette expression la quantité ydy au dénominateur, parce qu'elle se trouve infiniment petite relativement à l'autre terme j^^^ Donc on aura
X rd.T — xdr €1- == r ?
c'est-à-dire -qu'en général la différentielle d'une fraction est égale au dénominateur de cette fraction multiplié par la différentielle du numérateur, moins le numérateur multiplié par la différentielle du dénominateur, le tout divisé par le carré du dénominateur.
