Soit proposé de différentier x
Si l'on fait successivement /tz = 2,m= 3, w = 4? • • • ♦ on pourra regardera:'" comme le produit de x multipliée par elle-même une fois, deux fois, trois fois, etc. ; ainsi on pourra y appliquer la règle établie (53), d'où l'on tirera en général
Si l'on suppose successivement w= — i, m = — 2, m = — 3, . . . , ou, ce qui revient au même, si l'on veut
différentier les quantités - » — j? — 5 • • • ? il n'y aura qu'à
leur appliquer la règle trouvée ci-dessus pour différen-
6o CHAPITRE II.
lier les fractions, et Ton parviendra également à la formule
Si l'on suppose que l'exposant m soit une fraction —
t on fera x^ =. z\ élevant chaque membre à la puissance q^
on aura a:/* = z^, et, différentiant chaque membre par la
règle ci-dessus, on aura
p,rP—^ dx =1 q^fl"^ dzj
d'où je tire
j}iP-~^ dx
dz=z
qzl
,fl-i '
substituant dans le second membre pour z sa valeur x'f, on aura
dz
p.rP-^d.r n £-1
r= ^ — z=z'-x'^ dx = m .z"*-^ dx,
qx^ ''
qui est encore la même formule que ci-dessus.
C'est-à-dire donc que généralement la différentielle d'une puissance quelconque positive ou négative, entière ou fractionnaire, est le produit de V exposant de la puissance par la variable élevée à une puissance moindre d'une unité que la puissance donnée j le tout multiplié par la différentielle de la variable,
56. Si les quantités proposées étaient affectées de radicaux, on commencerait par les convertir en quantités affectées d'exposants. Ainsi les règles précédentes suffiront pour différentier toutes les quantités algébriques. Mais les quantités dont les exposants sont variables n'y sont pas comprises ; cependant elles n'en sont pas moins
DE l'algorithme. 6l
susceptibles de différentiation, ainsi que les autres quantités auxquelles on a donné le nom de transcendantes, telles que les quantités logarithmiques et angulaires. Nous allons parcourir les règles qui ont été trouvées pour cela.
57. Proposons-nous de différ entier a^, a étant une quantité constante et x un exposant variable.
Suivant le principe général, la différentielle cherchée sera
c'est-à-dire qu'on aura
(A) dn'=a'[a'^-^\).
Mais, pour rendre cette équation utile, il faut faire en sorte que. la quantité infiniment petite dx ne soit point employée en exposant.
Pour cela je fais a = i -+- è^ j'aurai donc
ou, en développant par la formule du binôme de Newton,
. , , clxb^ [dx — I ) dxb^ (d.v — 1 1 [do: — 9.) a<^' — i^dxb'\ : ^- '- H ■ :^ 1 ,
et, comme la quantité infiniment petite dx disparaît devant les nombres finis i , â, 3, . . . , l'équation, en transposant le premier terme du second membre y se réduit à
Substituant donc cette valeur de a^^ — i dans la formule (A) et remettant pour b sa valeur a — i, on aura
(B) da'=a^dx[{a--î) — \{a-i]^-h\{a--iY — ,,.].
