Puisque nous avons fait en général

{a-l)-\[a-,Y+^,[a-iY

DE l'algorithme. 63

nous aurons pour les logarithmes naturels, c'est-à-dire pour le cas où m == i ,

ce qui donne par approximation

c'est-à-dire que la base des logarithmes naturels, ou le nombre dont le logarithme est i dans ce système, est à très peu près le nombre précédent, qu'on est convenu de représenter en général par la lettre e dans les calculs algébriques. Ainsi, dans ce système, on a a: = loge^ :

ez=z 2,718281828459045. . . .

Mais nos Tables ordinaires de logarithmes, faites principalement pour l'usage de l'Arithmétique, sont calculées sur une autre base. Notre numération étant décimale, on y suppose a = lo, c'est-à-dire qu'on y suppose X = logio-^ ; on y suppose donc successivement

et les valeurs de x qui satisfont à ces équations sont les logarithmes des nombres naturels i,2,3,4>****

En substituant cette valeur lo de la base dans l'équation trouvée ci-dessus,

on a par approximation

c'est-à-dire que ce nombre est le module des Tables ordinaires.

60. Tous lés systèmes possibles de logarithmes ont entre eux une liaison intime, de manière que, ces loga-

rithmes étant supposés calculés pour un certain système , il suffit de les multiplier tous par un même nombre pour passera un autre.

' En effet, soient K un nombre quelconque, logK le logarithme de ce nombre pris dans un système dont la base soit a^ et l'og K le logarithme du même nombre pris dans un autre système dont la base soit al . Nous aurons donc

Donc

Prenant les logarithmes dans le système dont la base est a, on aura

ou

logK. logû =rogK. loga'.

Donc

log K : Tog K : : log «' : loga.

Mais par la même raison on aurai t, pour tout autre nombre R',

logK' : l'ogK' : : log^f : loga.

Donc

logK : l'ogR : : logK' : l'ogK'

ou enfin

logK: logK' :: TogKii'ogK'.

Donc les logarithmes des deux nombres pris dans le premier système sont entre eux comme les logarithmes des mêmes nombres pris dans le second.