C. — Métaphys
GG CHAPITRK I(.
jilier tous par 2,3o9.585o9, qui est égal à ~~~F\r~ rrû^
et, d'après Téqualion trouvée ci-dessus, loga'= — i ce
dernier nombre doit être le logarithme de lo pris dans les Tables népériennes.
63. Nous venons de voir que, /^l' exprimant la base d'un sj'stème quelconque de logarithmes et m son module,
on a loga' = — - ou /n = r -^ loga' exprimant le logarithme népérien de d , Donc, dans tout système, le module n'est autre chose que l'unité divisée par le logarithme népérien ou naturel de la base logarithmique de ce sjstème.
Si donc nous reprenons les dénominations de l'article 58, c'est-à-dire que nous exprimions par a la base d'un système quelconque de logarithmes et par m son
module, nous aurons m = 1 loga désignant le logarithme naturel de a, et non le logarithme pris dans le système dont a est la base et m le module.
Mais nous avons vu (59) qu'on a aussi généralement entre le module et la base d'un système quelconque
Donc, en général, on a
(D) loga = («-i)-i(«-i)' + i(«-i)'-...,
loga exprimant toujours le logarithme népérien de a, ce qui donne une formule générale pour calculer les logarithmes de ce système.
DE l'algorithme. 67
Si dans cette formule on met pour a sa valeur i -h è (57), elle deviendra
log( I ^h]=h — \h''-^-\}?—
Si. dans cette équation on fait h négatif, elle deviendra
log(i — 6) = — 6 — {6'-^^»'— ...;
retranchant cette équation de la précédente et observant que
log ( iH- 6 1
log(, + 6)-log(.-6)= ,^°j^^^ ,
on aura
formule très connue qui donne le moyen de construire avec facilité les Tables des logarithmes naturels.
64. D'après ce qui a été dit (o7 et 58), nous pouvons facilement différentier toute quantité, §oit exponen lielle, soit logarithmique; mais nous observerons que les logarithmes naturels ou népériens sont les seuls qu'on emploie en Algèbre, comme étant les plus simples, que la lettre e est généralement prise pour représenter la base de ce système, c'est-à-dire le nombre dont le logarithme est 1, et qu'enfin ce nombre est 2,71828182845, à très peu près (59). Cela posé :
Soit proposé de différentier logo:; nous aurons
dx
d iosx = — j
ce qu'on exprime plus simplement ainsi :
dx
dix r= — •
On trouvera de même
a -\- X a -\- X a -\- jc
,. .r dr dy ,, « H- .r d.r dx d\-' = ^, d\ = — ■ ;
iT.dx
d\[^aa -^ xx^ ^=.
aa -|- XX Soit proposé de différentier e^ ; nous aurons
de* = e'dx .
Soit proposé de dîfférentîer a^\ on aura
da*=: a'dxXa.
Pareillement on trouvera
diaa -}- xx]^ =1 (aa -+- xxYdxi \iaa-\- xx ) ^ 1
^ ' ^ L au -h XX J
D'après tout ce qui vient d'être dit sur les quantités exponentielles et logarithmiques, on voit que leur différentiation se réduit aux deux règlessuivante9,qui dérivent l'une de l'autre (57 et 58) :
I** La différentielle du logarithme d'une quaîitité quelconque est égale à la différentielle de cette quantité, divisée par cette même quantité,
là? La différentielle d'une quantité exponentielle se trouve en multipliant cette quantité exponentielle par la différentielle de son logarithme.
Je passe à la différentiation des quantités angulaires.
66. Soit proposé de différentier sinx, x étant un arc quelcojique de cercle dont le rayon est i .
DE l'algorithme. 69
Suivant le principe général de la différentiation, on doit avoir
d sin JT = siu ( a: + é/.r ) — sin «c
1= ûvLXQ,o%dx -f- sinrfjc cosj: — sin j:.
Mais il est aisé de voir que : i** le cosinus d'un arc infiniment petit ne diffère du rayon que d'une quantité infiniment petite du second ordre, puisque cette quantité estle sinus verse et que le sinus verse est égal au carré du sinus qui est une quantité infiniment petite du second ordre, divisé par le diamètre moins le même sinus verse, qui est une quantité finie; d'où suit d'abord qu'on peut supposer cosrfj:= i,et par conséquent sin a: cos<fa:= sin a:; 2** la circonférence pouvant être considérée comme un polygone d'une infinité de côtés, sinrfj? et dx diffèrent infiniment peu l'un de l'autre, puisque dx est l'hypoténuse d'un triangle rectangle ; donc un des petits côtés est sinrfo:, et l'autre cosinus verse dx^ qui est un infiniment petit du second ordre.
Donc l'équation trouvée ci-dessus se réduit à
d sin jc = dx cos.r.
Soit proposé de différentier cosx.
Suivant le principe général de la différentiation, on doit avoir
c?cosar = cos(a; -\-dx^ — cosjc
= ces X cos dx — sin œ sin dx — ces a:,
équation qui, d'après les observations ci-dessus, se réduit à
fl?cosa:r=r — firsin.r.
Soit proposé de différentier tangx. On a
sin:r
tangjr
cos X '
yo cnxmHK 11.
donc
siii.r a fcing .v= {f -;— ; — j
cos-r
équation qui se réduit à
il tang JT = ,»
et, comme
cosj:'
cos.r
COt X = — : 9
on trouvera de même
— de
d cot jr
sinx*
66. En appliquant ces règles principales à d'autres exemples, on trouvera
d sin m X •=. m dx cos mx, d cos/wx = — mdxûximx.y d sinx^ z=.mdx cos x sinx*"~* , rfcosx" =: — /wr/x sinx cos x"""*,
f/tang/wx
mdx cos m x'
d cotmx
— mdr
sin/wx*
f/tangx*
w'fl^tang.r*"'
cosx*
£/cotx*
— w* //x cotx'"~*
sinx*
67. D'après ce qui a été dit sur la différentiation des quantités de toutes espèces, il- est évident que la différentielle d'une quantité qui ne renferme qu'une seule variable x doit avoir pour l'un de ses facteurs la différentielle dx, puisqu'elle doit se réduire à zéro en faisant
DE l'algorithme. 71
iJx =z o. Mais aucun des termes ne doit se trouver multiplié par les puissances supérieures de dx, parce que ces termes, étant infiniment petits relativement aux autres, ont dû êti-e néglig^és.
Par la même raison, si la fonction contient plusieurs variables x, j^, z, la ditYérentielle ne peut contenir que des termes multipliés par dx, dj, dz à la première puissance seulement, et il ne doit s'en trouver aucun qui ait pour facteur ces différentielles élevées à des puissances supérieures ou multipliées les unes par les autres.
Lasomme des termes qui ont pour facteur commun dx compose la différentielle de la fonction proposée relativement à Xj c'est-à-dire en regardant x seul comme variable, et de même pour la somme des termes qui ont pour facteurs communs dy, dz, ....
Donc la différentielle totale de la fonction proposée n'est autre chose que la somme des différentielles partielles que l'on obtient en faisant varier cette fonction successivement par rapport à chacune des variables qui s'y trouvent.
Pour exprimer ces diiférentielles partielles, on emploie la notation suivante. Soit P une fonction de x^j, z, . . .. La différentielle partielle de cette fonction prise par rap-
port à X s'exprime ainsi -j- dx ; de même — û^;^'^ exprime
la différentielle de la fonction P par rapport à j ; ainsi des autres ; de sorte qu'on a
ctP =z -— dx H — dr H — dz -{-,.. .
dx dy dz
68. Au lieu de considérer le système des quantités variables dans deux états consécutifs, comme nous l'avons fait jusqu'à présent, nous pouvons le considérer
successivement dans deux, trois, quatre ou un plus grand nombre d'états consécutifs, tous infiniment peu différents les uns des autres. Alors, à mesure que le premier des systèmes auxiliaires se rapproche du système proposé, les autres s'en rapprocheront aussi, tellement que, si ce premier système auxiliaire vient à coïncider avec le système proposé, tous les autres coïncideront en même temps et toutes les différentielles de l'un de ces systèmes à l'autre s'évanouiront à la fois.
Les différences infiniment petites des quantités du premier système auxiliaire aux quantités correspondantes du système désigné ne sont pas les mêmes que celles des quantités du second système auxiliaire à celles du premier, et de même elles varieront du second au troisième, du troisième au quatrième, ainsi de suite; ainsi ces différences sont des variables qui auront, comme toutes les autres, leurs différentielles, et, en conservant toujours la caractéristique d pour exprimer la différentielle de toute espèce de quantités, ddx exprimera la quantité dont dx augmente du premier système auxiliaire au second, de la même manière que dx exprime la quantité dont x augmente en passant du système désigné à ce premier système auxiliaire. Pareillement, dddx exprimera la quantité dont ddx augmente en passant du second système auxiliaire au troisième 5 ainsi de suite.
Les quantités dx, ddx, dddx, ... se nomment différentielles première, seconde, troisième, etc., de la quantité x. Pareillement dy, ddy, dddj^ ... sont les différentielles première, seconde, troisième, etc., àej\ ainsi des autres.
Au lieu d'écrire ddx, dddx^ ddddx, . . ., on écrit souvent par abréviation d^x^ d^x, d^x^ ..., ce qui n'indique point des puissances, et ne doit pas être con-
DE LALGOHlTilxME. 78
fondu avec [dx)^, [dxY, (^d.v)\ . . ., qui sont aussi des abréviations et signifient ^/xcfo:, dxdxdx, dxdxdxdx, qui sont réellement les puissances de dx^ qu'on exprime encore en supprimant la parenthèse et écrivant seulement dx^y dx^y dx*^ . . . , et qu'il faut également distinguer des quantités d[xy^j d{xy, ..., qui sont les différentielles des puissances j:^, x^^ x*f ... de a:, tandis que les autres sont, au contraire, les puissances des différentielles de x.
69. Il suit de ce qui vient d'être dit que les différentielles de tous les ordres se diflerentient comme toute autre variable, et qu'il ne faut point de règles particulières pour cela. Ainsi, par exemple, en différentiant xy, on trouve xdy-hj^dx; différcntions . cette différentielle, et nous aurons
dx dy -}- .r ddy -4- dy dx H- y ddx ;
différcntions de nouveau celle-ci, et nous aurons
Zdxddy -t- Zdyddx -\- xd^y •■\- yd^x-^ ainsi de suite.
70. Il est bon d'observer que, quoique d^x et dx^ ne soient pas la même chose, ce sont cependant deux quantités infiniment petites du second ordre, car, par exemple, la première différentielle de l'équation
y y r= 2 ax — xx est
ydyz=zadx — xdx
et la différentielle seconde est
yd^y -4- dy^ = ad^x — xd}x — dx'*' ,
où Ton voit que Téquation ne peut être homogène, à
moins que tous les termes ne soient du même ordre, c'est-à-dire tous du second.
71 . Il faut encore observer que, quand diverses variables sont lices par des équations, on peut toujours prendre pour constante la difTérentielle de Tune quelconque de ces variables, laquelle est alors prise pour terme de comparaison et sert à régler toutes les autres. Car, par exemple, dans une courbe, nous pouvons bien supposer que les accroissements successifs de l'abscisse se font par degrés égaux infiniment petits ; alors tous les dx seront égaux, et par conséquent on aura ddx = o ; mais à ces degrés égaux d'accroissement de l'abscisse répondront des accroissements de l'ordonnée qui ne seront point égaux ; ainsi ddy ne sera pas zéro, et la loi suivant laquelle varieront ces dyen passant d'un système à l'autre, tandis que dx restera constant, sera précisément ce qui fera connaître la nature de la courbe, c'està-dire que la nature de la courbe dépendra des relations qui existeront entre les différentielles successives, d^ , ddj, dddjj ... de la' variable désignée y.
Appliquons ces règles générales du Calcul différentiel à quelques exemples.
72. Soit propos fi de trouver la sous-tangente de la courbe qui a pour équation
Considérons la courbe proposée comme un polygone d'une infinité de côtés. Soit MN un de ces côtés {Jig» i); si l'on prolonge ce côté jusqu'à l'axe de la courbe en T. ce sera la tangente. Soit cet axe ou ligne des abscisses TB; des deux extrémités M, N du petit côté MN soientmenées les ordonnées MP, NQ, infiniment proches
Tune de l^autre, et du point M soit menée la petite droite MO, parallèle à Taxe et terminée à l'ordonnée MQ. La ligne TP estdonc la sous-tangente cherchée. Or il est clair qu'on a MO = dXy NO ^= dy, et que les triangles semblables MNO, TMP donnent, par conséquent,
j/:^/x:: j:TP.
Donc nous avons Téquation imparfaite
(Al TP=-^rfp-
Maintenant je différentie l'équation donnée pour en
(ix tirer la valeur de ç^ et la substituer dans l'équation (A).
Cette équation différentiée me donne (m -h n) ay"-^""^ dy
qui est aussi une équation imparfaite, d'où je tire
. . dx (w -f- /2)rt^r'"-^"-^
df m [a — x'f x'"-^ — nx"' [a — x)"-^
dx Substituant cette dernière valeur de -~ dans l'équa-
tion (x\), j'aurai
jp __ [m-^n)[ax^x.T) ma — mx — nx
équation qui, étant dégagée de toute considération de l'infini, est rigoureusement exacte et me donne la valeur cherchée de la sous-tangente TP.
73. Soit proposé de déterminer les plus grandes et les plus petites ordonnées de la courbe qui a pour équation
yX "+" ^^ =:3/2.r — 'xaa-^ 2 hy — bb (fig* 5 ).
Il est clair que les plus grandes et les plus petites ordonnées de la courbe proposée sont celles qui répondent aux points où la tangente devient parallèle aux abscisses, ou, ce qui revient au même, en considérant la courbe comme un polygone d'une infinité de côtés ;
Fig. 5.
ce sont les ordonnées qui répondent aux petits côtés parallèles aux abscisses, d'où il suit que l'ordonnée reste la même sur toute l'étendue de ce petit côté, c'està-dire qu'au point du maximum ou du m.inimumde cette ordonnée sa différentielle devient zéro, quoique celle de l'abscisse ne le soit pas, et qu'on a par conséquent
dx
Appliquons ce principe à l'équation proposée ; en la différentiant, elle nous donnera l'équation imparfaite
dy 3 a — 2.r
d.v iy — 2 Z> '
c'est donc cette quantité qui doit être égale à zéro, ce qui donne
ou X
