DE L ALGORITHME
et par conséquent
équations qui, étant dégagées de toute considération de rinfîni, sont rigoureusement exactes.
,74. Soit proposé de trouver le maximum ou le minimum de la fonction ax^ — bxy^ -k- f^ z^ — S^J^ ^^''^ variables x^ j^ z.
Lorsqu'une fonction est parvenue à son maximum^ elle cesse d'augmenter pour diminuer ensuite, soit que Jes variables particulières qui y entrent continuent d'augmenter, soit qu'elles diminuent, et, lorsqu'elle est parvenue à son minimum, elle cesse nécessairement de diminuer pour augmenter ensuite, soit que les variables particulières augmentent, soit qu'elles diminuent. Ainsi, dans le cas des maxima et des minima^ la différentielle de la fonction est toujours égale à zéro, quoique les différentielles des variables particulières ne le soient pas. Pour appliquer ce principe au cas proposé, je suppose d'abord qu'on ait trouvé les valeurs déterminées dej^et z qui satisfont à la condition proposée : il ne restera donc plus qu'à déterminer celle de Xy ce qui se fera, par conséquent, en differentiant la fonction proposée relativement à X seulement, égalant à zéro et divisant par dx^ ce qui donnera
3^70?^ — hy^ — gyz =. o.
En appliquant ce même raisonnement aux variables j^ et z, on aura pareillement
^hxy — gxz = o, 2/*2 -^gxy = o,
équations qui, étant tontes indépendantes de la considé-
ration de riniini, sont rigoureusement exactes. Telles sont donc les trois équations finies auxquelles il faut satisfaire, ce qui ramène la question proposée à l'analyse ordinaire.
Ces trois différentiations successives reviennent évidemment au même que si Ton différentiait la fonction par rapport à toutes les variables à la fois, et qu'on égalât à zéro le coefficient différentiel de chacune de ces variables .
75. Soit propose de trouver le point d' inflexion de la courbe qui a pour équation b^jz=z ax^ — x^y si elle en a un.
Soit ABMN [fig- 6) la courbe proposée, que AP soit
Fig. 6.
l'abscisse et MP l'ordonnée, correspondant au point d'inflexion cherché M. Soit menée une tangente MK à ce point d'inflexion ; il est visible que l'angle KMP est un maximum, c'est-à-dire plus grand que l'angle LNQ, formé par une autre tangente quelconque NL et l'ordonnée correspondante NQ ; donc la tangente tri gonométrique de l'angle KMP est aussi un maximum. Mais
dx cette tangente trigonométrique est — ; donc on doit
cvoir
,dx
DE l'algorithme. 79
Or, la courbe ayant pour équation
on a
dx h^
(ly lac — 3a:* ' donc on doit avoir
'i.ax — 6x*
ce qui donne
équation qui, étant dégagée de toute considération de rinfîni, est rigoureusement exacte.
76. Soit proposé de trouver le rayon du cercle osculateur de la courbe qui a pour équation y y •=. ax
Soit une courbe abcdeY enveloppée d'un fîl fixé par Tune de ses extrémités àFun quelconque F des points de cette courbe, plié sur elle, et dont l'autre extrémité soit M. Si Ton conçoit maintenant que ce fil restant toujours tendu se déroule, et que son extrémité M trace une nouvelle courbe M mm', cette nouvelle courbe s'appelle développante de la première, et cette première s'appelle la développée,
La portion du fil comprise à chaque instant entre la développée et Ja développante se nomme rayon de la développée ; ainsi, pour le point M de la développante, la droite M 6 est ce qu'on nomme le rayon de la développée, me est le rayon de la développée au point m; ainsi de suite.
Si l'on considère la développée comme un polygone d'une infinité de côtés ai, Ac, cd, . . ., les petites portions Mm, mni^, ... cle la développante deviendront
8o CHAPITRE II.
de petits arcs de cercle qui auront leurs centres aux points Cy rf, ... ; c'est pourquoi les cercles qui ont pour rayons respectifs Me, /W, . . ., et dont les petits arcs se confondent avec ceux de la développante, se nomment cerctf's osculateurs de cette courbe, aux lieux où ils se confondent ; ainsi les rayons des cercles osculateurs, que pour cette raison on nomme aussi rayons de courbure, ne sont autre chose que ceux de la développée.
Fie. 7.
Il s'agit donc de trouver le rayon de la développée pour un point quelconque M de la développante. Or, la grandeur d'un angle étant estimée par Tare qui en donne la mesure lorsque le rayon est i, il est clair que (A) rarcMm = Mc.Mc/w. . .; mais, les rayons Me, mrf étant successivement perpendiculaires aux petits arcs Mw, m/n', et par conséquent à leurs tangentes respectives aux points M, m, Tangle Mem formé par ces rayons sera
DE l'algorithme. 8i
le même que celui que formeraient ces tangentes. Or, il est évident que dans une courbe quelconque l'angle formé par deux tangentes est égal à l'accroissement que reçoit, en passant de l'une à l'autre, l'angle formé par l'ordonnée avec la première de ces tangentes; donc, si les deux tangentes sont infiniment proches l'une de l'autre, l'angle qu'elles formeront, et par conséquent aussi l'angle M cm que formeront les rayons de courbure correspondants Me, mrf, sera la différentielle de l'angle formé par la tangente de la courbe et l'ordonnée. Supposant donc que MT soit la ligne tangente au point M et MP l'ordonnée, si l'on nomme R le rayon de courbure, s l'arc correspondant, x ely les coordonnées, on aura, par l'équation (A) trouvée ci-dessus,
(B) ^^ = R.rfTMP.
Mais la tangente trigonométrique de l'angle TMP est — (72), et l'on sait (65) que la différentielle d'un angle
ajr
est égale à la différentielle de sa tangente, multipliée par le carré du cosinus : donc
£/TMP = cosTMP*rf^=^rf^.
Donc l'équation (B) devient
dv
ds=:R^d—, ds* dy
d'où l'on tire
dx dy'^d — •^ dy
Il s'agit maintenant d'appliquer cette formule générale, qui n'est qu'une équation imparfaite, au cas proposé,
c. — MÀtnnhvi O
