DU CALCUL INTÉGRAL

77 . Il ne faut pas perdre de vue que les quantités infinitésimales ne sont jamais que des quantités auxiliaires, introduites seulement dans le calcul pour faciliter la comparaison des quantités désignées, c'est-à-dire des

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quantités dont on veut avoir la relation, et que le but ultérieur qu'on se propose est toujours de les éliminer.

Lorsque cette élimination n'a besoin, pour être exécutée, que des transformations ordinaires de TAlgèbre, les opérations se rapportent à ce qu'on nomme Calcul différentiel] mais, lorsqu'on ne peut obtenir cette élimination que par l'opération inverse de celle qu'on fait pour différentier des quantités proposées, cette opération devient l'objet de ce qu'on nomme Calcul intégral.

Intégrer une quantité différentielle, c'est retrouver la quantité qui, par sa différentiation, donne cette quantité différentielle proposée.

Mais cette opération inverse est beaucoup plus difficile que l'opération directe, de même que la division est plus difficile que la multiplication, dontelle n'est cependant que l'opération inverse, que l'extraction des racines est plus compliquée que l'élévation des puissances, dont elle est également l'inverse, et qu'enfin la résolution des équations est beaucoup plus difficile que leur composition, puisqu'on n'y parvient même généralement que pour les degrés inférieurs.

Il y a d'ailleurs un grand nombre d'expressions différentielles, telles que^^/x, qui ne peuvent réellement résulter d'aucune différentiation et qui, par conséquent, ne sauraient s'intégrer ; il y en a d'autres qui peuvent être susceptibles d'intégration, mais le moyen d'y parvenir n'est pas encore connu.

78. La quantité qui, par sa différentiation, produit une différentielle proposée sp»'appelle intégrale de celte différentielle, parce qu'on la regarde comme ayant été formée par des accroissements successifs infiniment petits; chacun de ces accroissements est ce que nous avons appelé la différentielle de la quantité croissante ; c'en est

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une fraction, et la somme de toutes ces fractions est la quantité entière que l'on cherche, et que pour cette raison Ton nomme intégrale de cette différentielle ; c'est par cette même raison que Ton appelle intégrer ou sommer une diflerentielle chercher l'intégrale ou la somme, de tous les accroissements successifs infiniment petits qui forment la série dont la différentielle proposée est, à proprement parler, le terme général,

79. Une intégrale étant considérée comme la somme des éléments qu'on nomme dijférentiellesy on est convenu de la désigner dans le calcul par la caractéristiquey*, qui est regardée comme l'abréviation des mots somme de. Ainsi le signe f détruit l'effet du signe d, de manière que yrfX n'est autre chose que la quantité X ellemême.

Il est évident que deux quantités variables qui demeurent constamment égales entre elles augmentent à chaque instant autant Tune que l'autre et que, par conséquent, leurs différentielles sont égales, et la même chose aurait lieu quand même ces deux quantités eussent différé entre elles d'une autre quantité quelconque lorsqu'elles ont commencé à varier; pourvu que cette différence primitive soit toujours la même, leurs différentielles seront toujours égales.

Réciproquement, il est clair que deux quantités variables qui reçoivent à chaque instant des augmentations infiniment petites égales doivent aussi demeure rconstamment égales entre elles ou différer toujours de la même quantité, c'est-à-dire qu€ les intégrales de deux différentielles qui sont égales ne peuvent jamais différer entre elles que d'une quantité constante.

Par la même raison, si deux quantités quelconques sont infiniment peu différentes l'une de l'autre, leurs

DE L algorithme:.

différentielles différeront aussi entre elles infiniment peu; et réciproquement, si deux quantités différentielles sont infiniment peu différentes Tune de l'autre, leurs intégrales, abstraction faite de la constante, ne peuvent aussi différer Tune de l'autre qu'infiniment peu.

80. C'est sur ces principes qu'est fondée l'application des règles du Calcul intégral. Soit, par exemple {fig» 8), AMNR une courbe dont on veuille trouver l'aire, c'est-à-dire la surface AMP, comprise entre l'arc AM de cette courbe, son abscisse AP et son ordonnée MP.

Fig. 8.

Si l'on conçoit que l'abscisse AP ou x augmente de la quantité infiniment petite PQ ou dx, l'aire cherchée de la courbe augmentera du petit trapèze mixtiligneMJNQP ; ce petit trapèze sera donc l'élément ou la différentielle de la surface cherchée. Ainsi nous aurons d'abord

(A) AMP=/MNQP.

Mais d'un autre côté, en négligeant le petit triangle mixtiligne MNO, qui est évidemment infiniment petit à l'égard du trapèze, nous aurons pour l'aire de ce trapèze, considéré comme égal au rectangle MOQP, le produit j dx de sa hdise j par sa hauteur dx] donc jdx diffère infiniment peu de la différentielle de l'aire cherchée. Donc

AMP= / -^ - + C.

(79) Jydx différera infiniment peu de/MNQP ou AMP, abstraction faite de la constante, c*est-à-dire donc que

(B) AMP=/jé/.r-4-C

est ce que j'ai appelé une équation imparfaite.

Supposons, par exemple, que la courbe soit une parabole ordinaire dont le paramètre soit p\ nous aurons yy = pxelj en différentiant, lydj '=. pdx ; donc

P Substituant cette valeur dans Téquation (A), on aura

Mais (55)