r' 7.y^dY

d -^— = - — ^ ; Zp p '

donc, réciproquement,

j-7 ]^-zï,—^p (^'^-

Donc, l'équation (B) devient

3 p ou, à cause ^^ yy = px^

(C) AMP = |j:r-+-C.

Mais cette équation, que je n'ai regardée jusqu'à présent que comme une équation imparfaite, se trouve ne renfermer aucune quantité infinitésimale; donc elle est devenue parfaitement rigoureuse, c'est-à-dire que Taire de la parabole est exactement \xy -h C.

Il me reste à déterminer la constante G. Pour cela.

DE l'algorithme. 87

j'observe que l'origine des abscisses étant en A, si nous supposons a:= o, nous aurons aussi j^ = o, et, coraine nous cherchons l'aire totale à compter du point A, nous aurons aussi AMP= o. Donc l'équation

AMPmf xj + C,

devant avoir lieu quelle que soit la valeur de x, donne

o rr: o -h C ou C = o.

Donc, l'équation qui donne l'aire de la parabole se réduit à

AMP=:frj.

On conçoit par cet exemple l'usage qu'on peut faire du Calcul intégral et combien il est important de rechercher les moyens de passer des équations différentielles qu'on peut avoir trouvées par l'expression des conditions d'un problème aux équations intégrales qui peuvent en dériver.

81 . Les règles du Calcul intégral dérivent nécessairement de celles du Calcul différentiel, qui en est l'inverse. Le détail de ces règles ne peut être l'objet d'un Ouvrage tel que celui-ci. Contentons-nous d'en donner une idée. Considérons d'abord le cas où il n'entre qu'une seule variable dans l'expression différentielle.

Soit proposé d'intégrer le monôme ax^dx\ je dis qu'on aura

aaf*dx =2 9

abstraction faite de la constante, que je sous-entends pour plus de simplicité.

rt^'«+*

En effet, si l'on différentie — '■ » suivant la règle

prescrite (55), on aura ax^dx. Donc, réciproquement.

l'intégrale de ax^dx est, comme nous Tavons dit, -î c'est-à-dire donc qu'en général :

Pour intégrer une différentielle monôme à une seule variable, il faut ; i ° augmenter V exposant de la variable d'une unité; a*' diviser par cet exposant ainsi augmenté de l'unité et par la différentielle de la variable.

Cette règle a lieu, soit que l'exposant soit positif ou négatif, entier ou fractionnaire.

Si la différentielle monôme avait un radical, il faudrait, pour appliquer la règle précédente, commencer par convertir ce radical en exposant fractionnaire.

82. La règle donnée ci-dessus souffre cependant une exception dans le cas où l'on a m = — i , puisque alors

l'intégrale deviendrait-» quantité infinie. Dans ce cas,

la véritable intégrale est a logx, c'est-à-dire qu'on a

= a logx.

puisque, en effet, nous avons (64)

, , adx lia log jr =r •

Mais il faut remarquer que, pour rendre l'intégrale

complète, on doit y ajouter une constante C. Ainsi l'on

a réellement

aâx ,

fllog^r -h C.

Si Ton veut maintenant que l'intégrale commence lorsqu'on a a: = o, c'est-à-dire si l'on veut que l'intégrale

DE l'algorithme. 89

/aclr . , soit o quand x est o, on aura

o = a logo -f- C ou C rz= — a logo ; donc l'intégrale complète sera

— '— = a log.r — a log oz=.a log - » X o

c'est-à-dîre qu'alors l'intégrale complète sera infinie, ce qui explique pourquoi la règle donnée ci-dessus fait trouver pou r y a. r'^r/o: une quantité infinie pour le cas où l'on a m = - — i .

83. Puisque nous savons intégrer un monôme quelconque, nous pourrons intégrer une suite quelconque de monômes, telle que

h.T^dx '

aardx H jdx^

car il n'y a qu'à appliquer la règle trouvée à chacun de ces monômes en particulier. Ainsi, toujours abstraction faite de la constante, nous aurons

hx^ffx \ ax^ bx^ ax^ax H / dx \ rzr — h jx.

Il est évident que la même règle s'applique au cas où il entre dans l'expression différentielle des quantités complexes, pourvu qu'elles ne se trouvent point au dénominateur et que leur exposant soit un nombre entier et positif, puisque alors il n'y a qu'à exécuter l'opération, c'est-à-dire élever à la puissance indiquée, pour convertir la fonction en une suite de monômes.

84. La même règle s'applique encore au cas où la fonction proposée, quoique complexe, se trouverait

go CHAPITRE II.

élevée à une puissance quelconque, fractionnaire ou négative, pourvu que la totalité des termes qui multiplie cette quantité complexe fût la différentielle de ce qui est sous Texposant, multipliée par une constante, car, pour ramener ce cas au premier, il n'y a évidemment qu'à faire cette quantité complexe égale à une nouvelle variable simple.

Soit, par exemple, proposé d'intégrer la quantité différentielle

[a -f- hx^dx^

qui contient la fonction complexe (a-f- Jx)'", l'exposant m pouvant être négatif ou fractionnaire : je vois que cette différentielle est intégrable, parce que le facteur rfa: est la différentielle de la quantité complexe qui est sous l'exposant, multipliée par une constante. En effet, soit

en différentiant, nous aurons

dy bdx^=.dy ou dxz=z—*

Y^ dy Donc la formule à intégrer devient , ■» dont l'inté-

erale est 7 r-p» ou, en remettant pour r sa valeur

(•a -H ifx)f on aura

[a -h ôxY*dx =

85. Cette application de la règle peut s'étendre à tous les cas où l'exposant de la variable hors du binôme, augmenté d'une unité, se trouve divisible par l'exposant de la même variable dans le binôme et donne pour quotient un nombre entier positif.